חיתוך (מתמטיקה)

בתורת הקבוצות ובענפים אחרים במתמטיקה, החיתוך של שתי קבוצות $A$ ו-$B$ הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ב-$A$ ששייכים גם ל-$B$ (או באופן שקול, כל האיברים ב-$B$ ששייכים גם ל-$A$), ורק אותם. החיתוך של $A$ ו-$B$ נכתב בדרך כלל כך: $A\cap B$.

דיאגרמת ון של החיתוך של A ו-B

מבחינה פורמלית:

$x\in A\cap B$ ($x$ הוא איבר ב-$A\cap B$) אם ורק אם $x\in A$ וגם $x\in B$.

חיתוך כלשהו

בדומה לאיחוד ולפעולות אחרות בתורת הקבוצות, אפשר להגדיר את החיתוך של משפחה כלשהי של קבוצות. נניח כי ${\left\{A_i\right\}}_{i\in \mathrm{\Lambda }}$ היא משפחה של קבוצות (כלומר, קבוצה של קבוצות שכל אחת מזוהה על ידי אינדקס $i$ השייך לקבוצת אינדקסים $\mathrm{\Lambda }$), אז החיתוך שלהן יסומן $\bigcap _{i\in \mathrm{\Lambda }}{A}_i$, והגדרתו היא ש-$x\in \bigcap _{i\in \mathrm{\Lambda }}{A}_i$ אם ורק אם לכל $k\in \mathrm{\Lambda }$ מתקיים $x\in A_k$.

אם קבוצת האינדקסים $\mathrm{\Lambda }$ ריקה, אומרים שהחיתוך הוא חיתוך ריק, השווה כביכול לקבוצה האוניברסלית שכל דבר הוא איבר שלה. על-מנת להבטיח שהחיתוך יהיה קבוצה, מגדירים את החיתוך של משפחת קבוצות בתוך מרחב נתון $X$, ואז החיתוך של משפחה ריקה שווה, כעניין שבהגדרה, למרחב $X$ כולו.

דוגמאות

• אם $A=\{t,2,3,4\},B=\{4,5,r,t\}$ אז $A\cap B=\{t,4\}$
• אם $B\subseteq A$ ($B$ הוא קבוצה חלקית של $A$) אז $A\cap B=B$.
• אם $B=\mathrm{\varnothing }$ (קבוצה ריקה) אז לכל $A$ מתקיים $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$. (זהו מקרה פרטי של המקרה הקודם).
• אם $A_n=\{1,2,\dots ,n\}$ אז $\bigcap _{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}{A}_n=\left\{1\right\}$.
• בדוגמאות הבאות נשתמש גם בפעולת האיחוד:
  • בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות $A_n$, אז הקבוצה $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcap _{k\ge n}{A}_k$ היא קבוצת כל האיברים שמופיעים בכל הקבוצות החל מאינדקס $n$ כלשהו.
  • בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות $A_n$, אז הקבוצה $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{k\ge n}{A}_k$ היא קבוצת כל האיברים שמופיעים במספר אינסופי של קבוצות.

(שתי הקבוצות הללו מכונות בהתאמה הגבול התחתון והגבול העליון של סדרת הקבוצות $A_n$, ומסומנות $\mathrm{lim\; inf}{A}_n$ ו-$\mathrm{lim\; sup}{A}_n$).

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא חיתוך בוויקישיתוף

• חיתוך, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

חיתוך (מתמטיקה)35255586Q185837