חסימות במידה אחידה
במתמטיקה, קבוצה של פונקציות היא חסומה במידה אחידה אם כל הפונקציות מהקבוצה חסומות על יד אותו קבוע. בשקילות, משפחת הפונקציה חסומה כאשר איחוד התמונות של כל הפונקציות השייכות לקבוצה הוא קבוצה חסומה. סדרת פונקציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}} היא חסומה במידה אחידה אם קבוצת כל הפונקציות שבסדרה חסומה במידה אחידה.
באנליזה פונקציונלית, משפט בנך-שטיינהאוס מספק תנאים מספיקים לחסימות במידה אחידה של קבוצה של אופרטורים.
הגדרה פורמלית
הציר הממשי והמישור המרוכב
תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal F=\{f_i: X \to K, i \in I\}} משפחה של פונקציות עם קבוצה כלשהי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} קבוצת אינדקסים ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} שדה המספרים הממשיים או המרוכבים. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal F} חסומה במידה אחידה אם קיים מספר ממשי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} כך שמתקיים:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall i \in I \, \forall x \in X:\,\,\, |f_i(x)|\le M } .
מרחב מטרי
ביתר כלליות, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} מרחב מטרי עם מטריקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} , אז הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal F=\{f_i: X \to Y, i\in I\}} נקראת חסומה במידה אחידה, אם קיים איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \in Y} ומספר ממשי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall i \in I \, \forall x \in X:\,\,\, d(f_i(x), a) \leq M } .
דוגמאות
- כל סדרת פונקציות אשר מתכנסת במידה שווה בתחום נתון היא חסומה במידה אחידה על התחום.
- סדרת הפונקציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_n(x)=\sin nx\,} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ממשי ו- שלם חסומה במידה אחידה על כל הישר הממשי; החסם הוא 1.
- סדרת הנגזרות של הפונקציות מהדוגמה שלעיל,הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'_n(x)=n cos nx} , אינה חסומה במידה אחידה על כל הישר: סדרת הערכים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{f_n'(2 \pi)\}} איננה חסומה.
ראו גם
חסימות במידה אחידה28799391Q1052594