מטריצה אנטי-סימטרית

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, במיוחד באלגברה ליניארית, מטריצה אנטי-סימטרית (באנגלית: Anti-Symmetric Matrix או Skew-Symmetric Matrix)^[1]^[2] היא מטריצה ריבועית שהשחלוף שלה שווה לשלילה שלה. כלומר, הוא מקיים את התנאי^[3]:

$A^{⊤} = - A$

במונחי הרכיבים של המטריצה, אם $a_{i j}$ מציין את הערך בשורה ה־ $i$ ובעמודה ה־ $j$ , אז תנאי האנטי-סימטריות שווה ערך ל־

$\forall i, j : a_{j i} = - a_{i j}$

תכונות

אוסף המטריצות האנטי-סימטריות הוא מרחב וקטורי. בפרט, הסכום של שתי מטריצות אנטי סימטריות הוא מטריצה אנטי סימטרית, וכל כפולה בסקלר של מטריצה אנטי סימטרית היא מטריצה אנטי סימטרית.
כאשר השדה ממאפיין שונה מ-2:
- הממד של מרחב המטריצות האנטי סימטריות הוא $n (n - 1) / 2$ .
- הרכיבים באלכסון הראשי של מטריצה אנטי סימטרית הם כולם אפס, ובפרט העקבה שלה שווה לאפס.
הערכים העצמיים של מטריצה ממשית אנטי-סימטרית הם מספרים מרוכבים טהורים (כלומר, כפולות ממשיות של היחידה המרוכבת i).
בפרט, אם $A$ היא מטריצה אנטי סימטרית ממשית $I + A$ היא מטריצה הפיכה, כאשר $I$ היא מטריצת היחידה.
אם $A$ היא מטריצה אנטי סימטרית $A^{2}$ היא מטריצה סימטרית שלילית (negative indefinite).
מעל שדה ממאפיין 2, אין הבדל בין מטריצות אנטי-סימטריות למטריצות סימטריות.

שימושים

מכפלה וקטורית

ניתן להשתמש במטריצות אנטי סימטריות של שלוש על שלוש כדי לייצג פעולת מכפלה וקטורית ככפל מטריצות. בהינתן וקטורים $𝐚 = {(a_{1} a_{2} a_{3})}^{⊤}$ ו- $𝐛 = {(b_{1} b_{2} b_{3})}^{⊤}$ , מוגדרת המטריצה:

[𝐚]_{\times} = [\begin{matrix} 0 & - a_{3} & a_{2} \\ a_{3} & 0 & - a_{1} \\ - a_{2} & a_{1} & 0 \end{matrix}]

ניתן לכתוב את פעולת המכפלה הווקטורית בתור

𝐚 \times 𝐛 = [𝐚]_{\times} 𝐛

ניתן לאמת זאת בקלות על ידי חישוב שני הצדדים של המשוואה הקודמת והשוואה של כל רכיב תואם של התוצאות.

הגדרת מטריצת סיבוב

בהינתן $\vec{ϕ}$ , וקטור סיבוב, מטריצת הסיבוב $R$ המתאימה תהיה:^[4]

$R = e^{- [ϕ]_{x}}$

הכללות

ערך זה עוסק במטריצות שהן אנטי-סימטריות ביחס לפעולת השחלוף. באופן דומה מגדירים איברים אנטי-סימטריים ביחס לאינוולוציה הסימפלקטית של מטריצות, או לכל אינוולוציה אחרת.

ראו גם

מטריצה סימטרית

לקריאה נוספת

Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63946-8.
Aitken, A. C. (1944). "On the number of distinct terms in the expansion of symmetric and skew determinants". Edinburgh Math. Notes. 34: 1–5. doi:10.1017/S0950184300000070.

קישורים חיצוניים

עליזה מלק - קורס אלגברה לינארית - מטריצה אנטי סימטרית, סרטון בערוץ "הטכניון", באתר יוטיוב
"Antisymmetric matrix". Wolfram Mathworld.
Benner, Peter; Kressner, Daniel. "HAPACK – Software for (Skew-)Hamiltonian Eigenvalue Problems".
Ward, R. C.; Gray, L. J. (1978). "Algorithm 530: An Algorithm for Computing the Eigensystem of Skew-Symmetric Matrices and a Class of Symmetric Matrices [F2]". ACM Transactions on Mathematical Software. 4 (3): 286. doi:10.1145/355791.355799. Fortran Fortran90
מטריצה אנטי-סימטרית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

↑ Richard A. Reyment; K. G. Jöreskog; Leslie F. Marcus (1996). Applied Factor Analysis in the Natural Sciences. Cambridge University Press. p. 68. ISBN 0-521-57556-7.
↑ התרגום המילולי לשם Skew-Symmetric Matrix לא נמצא בשימוש בעברית.
↑ Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc, Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, McGraw-Hill. ., ספטמבר 2005, עמ' 38
↑ F.Landis Markley, John L Crassidis, Fundamentals of Spacecraft Attitude Determination and Control, עמ' 45

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מטריצה אנטי-סימטרית39492909Q526790

[1] Richard A. Reyment; K. G. Jöreskog; Leslie F. Marcus (1996). Applied Factor Analysis in the Natural Sciences. Cambridge University Press. p. 68. ISBN 0-521-57556-7.

[2] התרגום המילולי לשם Skew-Symmetric Matrix לא נמצא בשימוש בעברית.

[3] Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc, Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, McGraw-Hill. ., ספטמבר 2005, עמ' 38

[4] F.Landis Markley, John L Crassidis, Fundamentals of Spacecraft Attitude Determination and Control, עמ' 45

[1]

[2]

[3]

[4]