פונקציית W של למברט

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

גרף הפונקציה $y=W(x)$ עבור $x<6$ ו $y>-4$. ההסתעפות העליונה (בכחול) עם ערכי $y\geq -1$ היא גרף הפונקציה $W_{0}$ (ההסתעפות הראשית), וההסתעפות התחתונה (בסגול) עם ערכי $y\leq -1$ היא גרף הפונקציה $W_{-1}$. הערך המינימלי של $x$ הוא ב-$(-{\frac {1}{e}},-1)$

במתמטיקה, פונקציית W של למברט (נקראת גם: פונקציית אומגה), היא פונקציה רב-ערכית, השווה לאוסף הענפים של הפונקציה ההופכית של הפונקציה $f(w)=we^{w}$, כש-$w$ הוא מספר מרוכב כלשהו ו-$e^{w}$ היא פונקציית האקספוננט.

לכל מספר שלם $k$ משויך ענף אחד, המסומן בצורה $W_{k}({\text{z}})$. $W_{0}$ מוגדר כענף הראשי . לפונקציות אלו מתקיימת התכונה הבאה: אם ${\text{z}}$ ו-$w$ הם מספרים מרוכבים כלשהם, אזי:

$we^{w}=z$

מתקיים אם ורק אם:

$w=W_{k}({\text{z}})$ עבור $k$ שלם כלשהו.

אם מתעסקים רק בעולם המספרים הממשיים, אז קיימים שני הענפים $W_{0}$ ו-$W_{-1}$ בלבד; עבור המספרים הממשיים $x$ ו-$y$ והמשוואה:

$ye^{y}=x$

למשוואה זו יש פתרון רק עבור $x\geq -{\frac {1}{e}}$; אנו מקבלים כי $y=W_{0}(x)$ אם $x\geq 0$, ואת שני הערכים $y=W_{0}(x)$ וגם $y=W_{-1}(x)$ אם $-{\frac {1}{e}}\leq x<0$ (כפי שניתן לראות בתמונה).

הפונקציה שימושית בקומבינטוריקה, לדוגמה, בספירת עצים. ניתן להשתמש בה בכדי לפתור משוואות המכילות אקספוננט (למשל המקסימום של משוואת פלאנק, משוואת התפלגות בוז-איינשטיין ומשוואת התפלגות פרמי-דיראק).

טרמינולוגיה

פונקציית W של למברט קרויה על שם המתמטיקאי יוהאן היינריך למברט.

לעיתים הענף הראשי $W_{0}$ מסומן כ-$W_{p}$ והענף $W_{-1}$ מסומן כ-$W_{m}$.

לעיתים הפונקציה נקראת גם "לוגריתם המכפלה" (באנגלית product logarithm) כיוון שאם הפונקציה ההופכית של $f(w)=e^{w}$ נקראת לוגריתם, אז הגיוני לקרוא לפונקציה ההופכית של המכפלה $we^{w}$ בשם "לוגריתם המכפלה"

הפונקציה קשורה לקבוע אומגה, ששווה ל-$W_{0}(1)$.

ייצוגים

אומנם את פונקציית W של למברט לא ניתן לבטא באמצעות פונקציות אלמנטריות., אך ניתן לייצג אותה ובעיקר את הענף הראשי שלה בדרכים אחרות.

באמצעות אינטגרלים מסוימים

בתחום $|x|<{\frac {1}{e}}$, ניתן לייצג באמצעות האינטגרל הבא:

$-{\frac {\pi }{2}}W_{0}(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt$

ועבור התחום הרחב יותר $-{\frac {1}{e}}\leq x\leq e$, ניתן לפשט עוד יותר את הביטוי:

$W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\ln \left({\frac {e^{e^{it}}-xe^{-it}}{e^{e^{it}}-xe^{it}}}\right)\,dt$

קיים ייצוג נוסף לענף הראשי:

$W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt$

עבור התחום $x\geq -{\frac {1}{e}}$ בו הענף הראשי מוגדר, מתקיים:

${\begin{aligned}W_{0}(x)&={\frac {x}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {(1-v\cot v)^{2}+v^{2}}{x+v\csc ve^{-v\cot v}}}dv\\\ &={\frac {x}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {(1-v\cot v)^{2}+v^{2}}{x+v\csc ve^{-v\cot v}}}dv\end{aligned}}$

(שני האינטגרלים שווים כיוון שהפונקציה בתוך האינטגרל סימטרית).

באמצעות שברים משולבים

ניתן גם להציג את הענף הראשי באמצעות השבר המשולב הבא:

$W_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}$

ועבור התחום $|W_{0}(x)|<1$:

$W_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}$

ובאופן דומה, עבור התחום $|W_{0}(x)|>e$:

$W_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}$

ד"א (דיפרנציאביליות ואינטגרביליות)

נגזרת

לפי השיטה למציאת נגזרת של פונקציה סתומה, ניתן להראות כי לכל הענפים של $W$ יש משוואה דיפרנציאלית רגילה:

$z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\ \ \ (z\neq {\frac {-1}{e}})$

($W$ אינה גזירה עבור $z=-{\frac {1}{e}}$) כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הנוסחה הבאה עבור הנגזרת של $W$:

${\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\ \ \ z\notin \{0,-{\frac {1}{e}}\}$

ובאמצעות שימוש בזהות $e^{W(z)}={\frac {z}{W(z)}}$ נקבל את הנוסחה הבאה:

${\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\ \ \ (z\neq -{\frac {1}{e}})$

בענף הראשי נקבל $W_{0}'(0)=1$.

אינטגרל

ניתן למצוא את האינטגרל של הפונקציה $W(x)$, ושל פונקציות רבות נוספות המכילות בתוכן את פונקציית W, על ידי שימוש באינטגרציה באמצעות החלפת משתנים: $w=W(x)\ \ \ (x=we^{w})$

${\begin{aligned}\int W(x)dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\\ &=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C\end{aligned}}$

המשוואה השנייה היא בשימוש הנפוץ יותר, אך אינה מוגדרת עבור $x=0$.

אם נשתמש בעובדה כי $W_{0}(e)=1$ נקבל:

$\int _{0}^{e}W_{0}(x)dx=e-1$

אינטגרלים מסוימים

קיימים כמה אינטגרלים מסוימים שימושיים של הענף הראשי של פונקציית W. כגון:

$\int _{0}^{\pi }W_{0}(2\cot ^{2}x)\sec ^{2}xdx=4{\sqrt {\pi }}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}dx=2{\sqrt {2\pi }}$

$\int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)dx=2{\sqrt {\pi }}$

את המשוואה הראשונה ניתן למצוא באמצעות כתיבת אינטגרל גאוסיאני בקואורדינטות קוטביות.

את המשוואה השנייה ניתן למצוא על ידי שימוש בהחלפה $u=W_{0}(x)$, ואז ניתן גם להחליף את:

$x=ue^{u}$

${\frac {dx}{du}}=(u+1)e^{u}$

ואז ניתן להראות כי:

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}$

המשוואה השלישית נובעת מהמשוואה השנייה על ידי ההחלפה $u=x^{-2}$, ובנוסף גם המשוואה הראשונה נובעת מהשלישית על ידי ההחלפה $z={\frac {1}{\sqrt {2}}}\tan x$.

אינטגרלים לא מסוימים

$\int {\frac {W(x)}{x}}dx={\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C$

הוכחה ראשונה

אם נציב את המשתנה $u=W(x)\rightarrow x=ue^{u}\ \ \ {\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}$ נקבל:

${\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x}}dx&=\int {\frac {u}{ue^{u}}}(u+1)e^{u}du\\\ &=\int {\frac {\cancel {\color {green}u}}{{\cancel {\color {green}u}}{\cancel {\color {red}e^{u}}}}}(u+1){\cancel {\color {red}e^{u}}}du\\\ &=\int (u+1)du\\\ &={\frac {u^{2}}{2}}+u+C\\\ &\qquad u=W(x)\\\ &={\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C\end{aligned}}$

הוכחה שנייה

$W(x)e^{W(x)}=x\rightarrow {\frac {W(x)}{x}}=e^{-W(x)}$

${\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x}}dx&=\int e^{-W(x)}dx\\\ &\qquad u=W(x)\rightarrow x=ue^{u}\\\ &\qquad {\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}\\\ &=\int e^{-u}(u+1)e^{u}du\\\ &=\int {\cancel {\color {green}e^{-u}}}(u+1){\cancel {\color {green}e^{u}}}du\\\ &=\int (u+1)du\\\ &={\frac {u^{2}}{2}}u+C\\\ &={\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C\end{aligned}}$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C$

הוכחה

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx$

$u=Bx\rightarrow {\frac {u}{B}}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}{\frac {u}{B}}={\frac {1}{B}}$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{u}\right){\frac {1}{B}}du$

$v=e^{u}\rightarrow \ln \left(v\right)=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}\ln \left(v\right)={\frac {1}{v}}$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {W\left(Av\right)}{v}}dv$

$w=Av\rightarrow {\frac {w}{A}}=v\;\;\;\;{\frac {d}{dw}}{\frac {w}{A}}={\frac {1}{A}}$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {{\cancel {\color {OliveGreen}{A}}}W(w)}{w}}{\cancel {\color {OliveGreen}{\frac {1}{A}}}}dw$

$t=W\left(w\right)\rightarrow te^{t}=w\;\;\;\;{\frac {d}{dt}}te^{t}=\left(t+1\right)e^{t}$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {t}{te^{t}}}\left(t+1\right)e^{t}dt$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}}}\left(t+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}dt$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int t+1dt$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {t^{2}}{2B}}+{\frac {t}{B}}+C$

$t=W\left(w\right)$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(w\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(w\right)}{B}}+C$

$w=Av$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Av\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Av\right)}{B}}+C$

$v=e^{u}$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{u}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{u}\right)}{B}}+C$

$u=Bx$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C$

$\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C$

הוכחה

אם נציב את המשתנה $u=W(x)\rightarrow x=ue^{u}\ \ \ {\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}$ נקבל:

${\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;\int {\frac {u}{\left(ue^{u}\right)^{2}}}\left(u+1\right)e^{u}du\\&=\;\int {\frac {u+1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}du\;+\;\int {\frac {1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int e^{-u}du\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du\end{aligned}}$

$v=-u\rightarrow -v=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}-v=-1$

$\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\int e^{v}\left(-1\right)dv\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du$

$\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{v}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C$

$v=-u$

$\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{-u}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C$

$u=W(x)$

${\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;-e^{-W(x)}+\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)+C\\&=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C\end{aligned}}$

ערכים מיוחדים

עבור כל $x$ מספר אלגברי השונה מ-0, מתקיים כי $W(x)$ הוא מספר טרנסצנדנטי. אם $W(x)$ הוא 0, אז $x$ חייב להיות גם הוא 0, ואם $W(x)$ הוא מספר לא אלגברי שונה מאפס, אז לפי משפט לינדמן-ויירשטראס, $e^{W(x)}$ חייב להיות מספר טרנסצנדנטי, ולכן $x=W(x)e^{W(x)}$ חייב להיות גם הוא מספר טרנסצנדנטי.

למטה מובאים ערכים מיוחדים של הענף הראשי ($W_{0}$):

• $W_{0}(-{\frac {\pi }{2}})={\frac {i\pi }{2}}$
• $W_{0}(-{\frac {1}{e}})=-1$
• $W_{0}(2\ln 2)=\ln 2$
• $W_{0}(0)=0$
• $W_{0}(1)=\Omega =\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}\right)^{-1}\approx 0.56714329$ (קבוע אומגה)
• $W_{0}(1)=e^{-W(1)}=\ln \left({\frac {1}{W(1)}}\right)=-\ln W(1)$
• $W(e)=1$
• $W(e^{1+e})=e$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית W של למברט בוויקישיתוף

• פונקציית W של למברט לפי המכון הלאומי לתקנים וטכנולוגיה
• פונקציית W של למברט, באתר MathWorld (באנגלית)
• מימוש הפונקציה בשפת C++

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

37465116פונקציית W של למברט