משפט לינדמן-ויירשטראס

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, משפט לינדמן-ויירשטראס הוא משפט מרכזי בחקר המספרים הטרנסצנדנטיים. המשפט קובע כי אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha_1,\ldots, \alpha_n} מספרים אלגבריים בלתי תלויים לינארית מעל שדה המספרים הרציונליים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q}} , אז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{\alpha_1},\ldots, e^{\alpha_n}} בלתי תלויים אלגברית מעל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q}} . בפרט, טרנסצנדנטי לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha} אלגברי שונה מאפס (e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי). המקרה הפרטי לבדו קרוי משפט לינדמן.

בניסוח שקול המשפט אומר שתחת התנאים המצוינים דרגת הטרנסצנדנטיות של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\ldots, e^{\alpha_n})} מעל היא n. ניתן להוכיח גם כי המשפט שקול לטענה שתחת התנאים המצוינים בלתי תלויים לינארית מעל שדה המספרים האלגבריים.

היסטוריה

בשנת 1761 שיער יוהאן היינריך למברט (שהוכיח לראשונה את האי-רציונליות של π) כי π ו-e הם מספרים טרנסצנדנטיים. אולם בתקופה זו כלל לא היה ידוע אם קיימים בכלל מספרים טרנסצנדנטיים.

בשנת 1844 הוכיח ז'וזף ליוביל את משפט ליוביל שהוכיח לראשונה את קיומם של המספרים הטרנסצנדנטיים ונתן דוגמה ראשונה למספר שכזה (קבוע ליוביל). בשנת 1873 הוכיח שארל הרמיט כי e מספר טרנסצנדנטי. הייתה זו הוכחת הטרנסצנדנטיות הראשונה למספר שלא נבנה לצורך זה מראש. הרמיט הצליח להכליל את הוכחתו כך שתוקפה הורחב גם לחזקות מסוימות של e.

בשנת 1882, בהתבסס על הטכניקות שפיתח הרמיט, הצליח פרדיננד לינדמן להוכיח את המשפט הקרוי על שמו, שכל חזקה אלגברית שונה מאפס של e היא טרנסצנדנטית. תוצאה זו אפשרה ללינדמן להוכיח בקלות כי π טרנסצנדנטי. הטרנסצנדנטיות של π מראה כי הוא אינו איבר של שדה המספרים הניתנים לבנייה ולכן לא ניתן לפתור את בעיית תרבוע העיגול. בכך קנה לינדמן את תהילתו כמי שפתר חידה בת אלפיים שנה.

בשנת 1885 הכליל קארל ויירשטראס את הוכחתו של לינדמן והוכיח את הגרסה המלאה של המשפט. מאז פרסום המשפט פישטו מתמטיקאים שונים את ההוכחה, כאשר הפישוט המשמעותי ביותר נעשה על ידי דויד הילברט.

בשל תרומתו של הרמיט, המשפט נקרא גם משפט הרמיט-לינדמן או משפט הרמיט-לינדמן-ויירשטראס.

טרנסצנדנטיות של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \pi} ושל פונקציות בסיסיות

ההוכחה כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \pi} מספר טרנסצנדנטי נובעת בקלות ממשפט לינדמן-ויירשטראס. נניח בשלילה כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \pi} אלגברי. היחידה המדומה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i} אלגברי ולכן גם אלגברי (שדה המספרים האלגבריים סגור תחת כפל). לפי זהות אוילר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{i\pi}=-1} ולכן לפי משפט לינדמן-ויירשטראס נקבל את התוצאה המגוחכת כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ -1} טרנסצנדנטי. לכן ההנחה שגויה ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \pi} טרנסצנדנטי.

הכללה של ההוכחה תוכיח כי הפונקציות הטריגונומטריות מחזירות ערכים טרנסצנדנטיים כאשר הן מופעלות על ערכים אלגבריים שונים מאפס. הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \cos x} אלגברי אם ורק אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sin x} אלגברי (כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sin x = \pm\sqrt{1-\cos^2 x}} ): יהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha} אלגברי שונה מאפס, נניח בשלילה כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \cos {\alpha}, \sin {\alpha}} אלגבריים אז לפי נוסחת אוילר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{i \alpha} = \cos{\alpha} + i \sin{\alpha} } אלגברי בסתירה למשפט לינדמן-ויירשטראס. תוצאה דומה תקפה לפונקציית הטנגנס ולפונקציות ההיפרבוליות.

גם הלוגריתם הטבעי טרנסצנדנטי לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha} אלגברי חיובי שונה מ-1. אחרת סותר את המשפט.

גרסה p-אדית

משוער כי משפט אנלוגי למשפט לינדמן-ויירשטראס נכון גם בשדה המספרים ה-p-אדיים. אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha_1,\ldots, \alpha_n} מספרים p-אדיים אלגבריים ובלתי תלויים לינארית מעל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q}} כך שפונקציית האקספוננט ה-p-אדי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \exp_p} (מוגדרת כטור חזקות) מוגדרת עליהם, אזי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \exp_p(\alpha_1),\ldots, \exp_p(\alpha_n)} בלתי תלויים אלגברית מעל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q}} .

ראו גם