תורת שטורם-ליוביל

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, תורת שטורם-ליוביל עוסקת בחקר משוואות דיפרנציאליות מסוימות ומציאת התנאים שבהם יש להן פתרון ששונה מהפתרון הטריוואלי, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y \equiv 0 } . לתורה שימושים רבים במתמטיקה שימושית ובתורת המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות.

תיאור

תורת שטורם-ליוביל (על שם המתמטיקאים שארל שטורם וז'וזף ליוביל) עוסקת בחקר משוואות דיפרנציאליות מהצורה

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lambda} הוא פרמטר, המהווה ערך עצמי של אופרטור גזירה הרמיטי מעל מרחב פונקציות שמוגדר על ידי תנאי הקצה, וכל פתרון למשוואה הוא פונקציה עצמית. תנאי ההרמיטיות מבטיח שהערכים העצמיים הם ממשיים.

במקרה שהמשוואה מוגדרת בקטע ממשי סגור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b]} ותנאי השפה הוא מהצורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_1y'(a)=c_2y(a)} וכן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_3y'(b)=c_4y(b)} (כאשר אולי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_i=0} ), מובטח קיום סדרה של ערכים עצמיים שלכל אחד מהם פונקציה עצמית מתאימה יחידה, וכן אוסף פונקציות זה מהווה בסיס אורתוגונלי למרחב כל הפונקציות הרציפות על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b]} .

דוגמאות ושימושים

משוואת החום

משוואת החום (נקראת גם משוואת הדיפוזיה) היא משוואה הבאה מעולם התרמודינמיקה ועוסקת במעבר חום דרך הולכה או פעפוע. המשוואה נתונה על ידי

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ {\frac {\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}}

או בכתיב מקוצר

נפתור אותה עם תנאי התחלה

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Psi(x,0) = \Psi_0(x)}

ותנאי שפה

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Psi(0,t) = \Psi( \pi , t) = 0}

נבצע הפרדת משתנים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Psi(x,t) = R(x) \cdot T(t)} ונקבל אחרי העברת אגפים

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R''(x)/R(x) = T'(t)/T(t)}

מאחר שאגף ימין תלוי רק ב t ושווה לאגף שמאל שתלוי רק ב x נובע שכל אגף שווה לקבוע. (באופן כללי הקבוע יכול להיות שלילי, חיובי או אפס, אבל יש לשים לב שרק קבוע שלילי יתן לנו דעיכה של הטמפרטורה בזמן, ולכן משיקולים פיזיקליים נכון לבחור בו) כלומר:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T'(t) = -\omega T(t) \quad , \quad R''(x) = -\omega R(x)}

לכן, קיבלנו שתי משוואות דיפרנציאליות לכל קבוע הפרדה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ -\omega} ובסה"כ מערכת של אינסוף משוואות. נפתור כל משוואה דיפרנציאלית לחוד ונקבל

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R(x) = A \sin( \sqrt{\omega} x) + B \cos( \sqrt{\omega} x) } .

אם נציב את תנאי השפה נקבל שהפתרון עבור x יהיה מהצורה

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R_n(x) = A_n \sin(n x)} לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1 \le n \in \mathbb{N}}

לכן, יש לנו רק מספר בן מנייה של קבועי הפרדה, והם נתונים על ידי

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \omega_n = n^2 \quad n = 1,2,3, \cdots} .

לכן, קיבלנו סדרה של פתרונות מהצורה:

זהו בעצם בסיס טופולוגי למרחב הפתרונות של המד"ח.

ואכן, מכיוון שהמד"ח המקורית היא לינארית, כל צירוף לינארי של פתרונות הוא פתרון, הפתרון הכללי יהיה

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}{A_n \sin (nx) \exp( -n^2 t) } = \sum_{n=1}^{\infty}{A_n e^{-n^2 t} \sin(n x)}}

את הקבועים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_n} נמצא באמצעות תנאי ההתחלה ושיקולים של אורתוגונליות. מציבים t=0 ואז מקבלים טור פורייה, שהוא פיתוח בבסיס ההרמוני (בסיס של סינוסים וקוסינוסים) בקטע . מאחר שבידינו יש רק סינוסים בטור, נוכל לעשות המשכה אי-זוגית של הפתרון ותנאי ההתחלה ולמצוא את המקדמים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_n} כמקדמי הפיתוח של טור פורייה של תנאי ההתחלה.


כעת נפתור אותה עם תנאי התחלה

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Psi(x,0) = \Psi_0(x)}

ועם תנאי השפה

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Psi(0,t) = 0} בלבד.

שיטת הפתרון זהה למקרה הקודם, רק שהפעם סט הפתרונות שאנו מקבלים הוא סט רציף:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 0 < \omega \in \mathbb{R} \ : \ \Psi_{\omega}(x,t) = \hat{\Psi}(\omega) \sin( \sqrt{\omega}x) e^{-\omega t}}

והפתרון במקרה זה הוא צירוף לינארי אינטגרלי (ולא טור):

את המקדמים היינו מוצאים על ידי הצבת t=0 וביצוע התמרת פורייה על תנאי ההתחלה.

משוואת שרדינגר

דוגמה לפתרון משוואה דיפרנציאלית חלקית בשיטת שטורם-ליוביל ניתן למצוא בערך משוואת שרדינגר. כדי להבין את הסימונים מומלץ לעיין גם במאמר על סימון דיראק.

ראו גם

סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0