משפט הפירוק הספקטרלי

במתמטיקה, ובפרט באלגברה ליניארית ואנליזה פונקציונלית, משפט הפירוק הספקטרלי (הנקרא לעיתים משפט הלכסון האוניטרי) הוא שורה של תוצאות הנוגעות לאופרטורים ליניאריים או למטריצות. במונחים רחבים, המשפט הספקטרלי מספק תנאים שתחתיהם אופרטור ליניארי או מטריצה ניתנים ללכסון (כלומר, ניתן להציגם כמטריצה אלכסונית ביחס לבסיס כלשהו). מושג הלכסון הוא ברור למדי עבור אופרטור על מרחב סוף-ממדי, אך הוא דורש התאמה מסוימת עבור המקרה של אופרטור על מרחב אינסוף-ממדי. באופן כללי, המשפט הספקטרלי מזהה מחלקה של אופרטורים ליניאריים אשר ניתנים להצגה כאופרטורי הכפלה ואופרטורים שכאלה הם יחסית קלים להבנה. בשפה יותר מופשטת, המשפט הספקטרלי הוא טענה על אלגבראות סי כוכב קומוטטיביות. למשפט יש שימושים באנליזת פורייה ובתחומים רבים אחרים.

בגרסתו הפשוטה ביותר, המשפט אומר שכל מטריצה הרמיטית (מעל שדה המספרים המרוכבים או שדה המספרים הממשיים) היא לכסינה אוניטרית מעל אותו שדה וכל ערך עצמי שלה הוא ממשי. כלומר, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A = A^*} , אז קיימות מטריצה אוניטרית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ U} ומטריצה אלכסונית ממשית $\ D$ כך ש- $\ A=UDU^{*}$ . את המשפט ניתן להכליל למטריצות נורמליות ובאופן כללי יותר, לאופרטורים נורמליים על מרחב הילברט. גרסה מתוחכמת יותר של המשפט אף אומרת שבהינתן משפחה של אופרטורים נורמליים מתחלפים בכפל (כלומר $T\circ S=S\circ T$ לכל שני אופרטורים $T,S$ במשפחה), ניתן ללכסן את כל האופרטורים במשפחה "סימולטנית".

המשפט הספקטרלי מספק בנוסף פירוק קנוני של המרחב הווקטורי עליו האופרטור פועל. פירוק זה ידוע בתור הפירוק הספקטרלי.

המקרה הסוף-ממדי

נניח ש- $A$ היא מטריצה הרמיטית מרוכבת מסדר $n$ (ניתן להסתכל באופן שקול על אופרטור הרמיטי על מרחב מכפלה פנימית סוף-ממדי, אך למען הפשטות נציג את המשפט במקרה המטריציוני). תנאי ההרמיטיות אומר ש-

\left\langle Ax,y\right\rangle =\left\langle x,Ay\right\rangle

לכל שני וקטורים $x,y\in V$ , או באופן שקול ש- $A=A^{*}$ , כאשר $A^{*}$ מסמן את הצמוד ההרמיטי של $A$ . אם $A$ היא מטריצה ממשית, זה שקול לכך ש- $A=A^{t}$ (כלומר, $A$ מטריצה סימטרית). נזכיר כי וקטור עצמי של $A$ הוא וקטור (שונה מאפס) $x$ כך ש- $Ax=\lambda x$ לאיזשהו סקלר $\lambda$ . במקרה זה $\lambda$ נקרא הערך העצמי המתאים ל- $x$ .

משפט הפירוק הספקטרלי: קיים בסיס אורתונורמלי של $\mathbb {C} ^{n}$ המורכב מווקטורים עצמיים של $A$ וכל ערך עצמי של $A$ הוא ממשי.

הוכחה: על פי המשפט היסודי של האלגברה, לכל פולינום (מעל שדה המספרים המרוכבים) יש לפחות שורש אחד. בפרט, לפולינום האופייני של $\ A$ יש שורש שהוא ערך עצמי של $\ A$ . נסמן ערך עצמי זה ב- $\ \lambda$ . נסמן ב- $\ v_{1},...,v_{k}$ את הווקטורים העצמיים המתאימים לערך העצמי $\ \lambda$ . בהסתמך על תהליך גרם-שמידט, נוכל להניח, ללא הגבלת הכלליות, שהווקטורים $\ v_{1},...,v_{k}$ אורתוגונליים זה לזה ולנרמל אותם כך שיהוו בסיס אורתונורמלי למרחב העצמי המתאים לערך העצמי $\ \lambda$ .

נשים לב שתת-המרחב ${\mbox{span}}\left\{v_{1},...,v_{k}\right\}$ אינווריאנטי תחת $\ A$ . מההרמיטיות של $A$ נובע ש- ${\mbox{span}}\left\{v_{1},...,v_{k}\right\}^{\perp }$ גם הוא אינווריאנטי תחת $\ \ A$ (כלומר ניתן להביא את המטריצה לצורת מטריצת בלוקים אלכסונית כך שיש בלוק שמתאים ל- ${\mbox{span}}\left\{v_{1},...,v_{k}\right\}$ ויש בלוק אחר שמתאים ל- ${\mbox{span}}\left\{v_{1},...,v_{k}\right\}^{\perp }$ ). כעת מאותו שיקול עבור תת-המרחב ${\mbox{span}}\left\{v_{1},...,v_{k}\right\}^{\perp }$ נובע שקיים ערך עצמי ומרחב עצמי מתאימים עבור הבלוק המתאים לו. כך ניתן להמשיך עד שהמרחב הניצב למרחב העצמי המתקבל הוא מרחב האפס.

בכך נקבל בסיס אורתונורמלי ל- $\mathbb {C} ^{n}$ המורכב מווקטורים עצמיים של $A$ . הערכים העצמיים שהתקבלו בתהליך זה הם ממשיים, כי אם $\lambda$ הוא ערך עצמי של $A$ המתאים לווקטור עצמי $x$ , אז $Ax=\lambda x$ ואז

\lambda \left\langle x,x\right\rangle =\left\langle \lambda x,x\right\rangle =\left\langle Ax,x\right\rangle =\left\langle x,Ax\right\rangle =\left\langle x,\lambda x\right\rangle ={\bar {\lambda }}\left\langle x,x\right\rangle

.

מאחר ש- $x\neq 0$ , ניתן לצמצם ולקבל ש- $\lambda ={\bar {\lambda }}$ ולכן $\lambda$ הוא ממשי. זה מסיים את ההוכחה.

מסקנה: כל מטריצה הרמיטית היא לכסינה אוניטרית. כלומר, אם $\ A=A^{*}$ , אז קיימות מטריצה אוניטרית $\ U$ ומטריצה אלכסונית $\ D$ כך ש- $\ A=UDU^{*}$ .

הוכחה: הייצוג של $A$ כמטריצה אלכסונית התקבל בהוכחת המשפט לעיל. כמו כן, בהינתן בסיס אורתונורמלי למרחב כפי שמובטח לנו מהמשפט, נסמן את המטריצה המלכסנת (קרי, המטריצה ששורותיה הם הווקטורים העצמיים של $A$ ) ב- $U$ ונשים לב שכיוון שהווקטורים העצמיים אורתונורמליים, זוהי מטריצה אוניטרית. אי לכך, $A$ לכסינה אוניטרית.

נסמן כעת ב- $\lambda _{1},\dots \lambda _{m}$ את הערכים העצמיים השונים של $A$ וב- $P_{\lambda _{j}}$ את ההטלה האורתוגונלית על המרחב העצמי המתאים ל- $\lambda _{j}$ . אז מהמשפטים לעיל נובע שניתן לכתוב את $A$ באופן הבא:

A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\cdots +\lambda _{m}P_{\lambda _{m}}

.

זהו הפירוק הספקטרלי של $A$ . בנוסף מתקיים $I=P_{\lambda _{1}}+\cdots +P_{\lambda _{m}}$ (שהרי הווקטורים העצמיים מהווים בסיס למרחב) וכן $P_{\lambda _{i}}P_{\lambda _{j}}=0$ לכל $i\neq j$ (מכיוון שהמרחבים העצמיים המתאימים לערכים עצמיים שונים הם אורתוגונליים זה לזה, לפי ההוכחה).

הכללות ושימושים

קיימת גם גרסה של משפט הפירוק הספקטרלי עבור מטריצות הרמיטיות ממשיות (קרי, מטריצות סימטריות). בגרסה זו המשפט אומר שכל מטריצה סימטרית ניתנת ללכסון אורתוגונלי, כלומר אם $\ A=A^{t}$ , אז קיימות מטריצה אורתוגונלית ממשית $\ Q$ ומטריצה אלכסונית ממשית $\ D$ כך ש- $\ A=QDQ^{t}$ . טענה זו אינה נובעת באופן מיידי מהמשפט לעיל כי משפט זה רק מבטיח שיש למטריצה וקטורים עצמיים מעל שדה המרוכבים ואילו כאן אנו מעוניינים בלכסון מעל הממשיים.
המשפט נכון באופן כללי גם למטריצות נורמליות (או באופן אנלוגי, לאופרטורים נורמליים). כלומר, אם $A$ מטריצה מרוכבת המקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AA^* = A^*A} , אז היא לכסינה אוניטרית. זוהי המחלקה הגדולה ביותר של מטריצות מרוכבות עבורן המשפט תקף - ניתן להראות שכל מטריצה לכסינה אוניטרית היא נורמלית. את השקילות בין נורמליות ללכסינות אוניטרית ניתן להראות למשל באמצעות פירוק שור למטריצות. עבור מטריצה נורמלית הערכים העצמיים אינם חייבים להיות ממשיים.
אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_1, A_2 ,\dots, A_r} הן מטריצות נורמליות מתחלפות בכפל (כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_i A_j = A_j A_i} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i,j} ), אז ניתן ללכסן את כולן סימולטנית. כלומר, קיימת מטריצה אוניטרית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle UA_j U^{-1}} היא מטריצה אלכסונית לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} . במצב זה יש פירוק ספקטרלי משותף לכל המטריצות. כלומר, קיימות הטלות אורתוגונליות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_1, \dots, P_r} וסקלרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_{ij}} (עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 \le i\le r, 1 \le j \le s} ) כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_j = \sum_{i=1}^{r} \lambda_{ij} P_i} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} . כמו קודם, ההטלות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_i} מקיימות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i} P_i = I} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_i P_j = 0} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i \ne j} , כלומר הן מכסות את כל המרחב וניצבות זו לזו.
משפט הפירוק הספקטרלי מקל בצורה משמעותית על ביצוע חישובים על המטריצה. למשל, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(x)} הוא פולינום מרוכב ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} היא מטריצה בעלת פירוק ספקטרלי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A =\lambda_1 P_{\lambda_1} +\cdots+\lambda_m P_{\lambda_m}} ,

ההצבה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} בפולינום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} שווה ל-

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\left(A\right)=p\left(\lambda_{1}\right)P_{\lambda_{1}}+\cdots+p\left(\lambda_{m}\right)P_{\lambda_{m}}}

זה נובע מכך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{\lambda_1}, \dots, P_{\lambda_m}} הן הטלות אורתוגונליות אשר פורשות את המרחב וניצבות זו לזו. בפרט הדבר מאפשר חישוב מהיר במיוחד של חזקות טבעיות של המטריצה. ניתן להשתמש בפירוק גם כדי לחשב שורש ואקספוננט של מטריצה.

משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים קומפקטיים צמודים עצמית

במרחב הילברט כללי, משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים קומפקטיים צמודים עצמית בעיקרו זהה לנוסח הסוף-ממדי של המשפט. המושגים של וקטור עצמי, ערך עצמי, מרחב עצמי ואופרטור צמוד עצמית מוגדרים במקרה האינסוף-ממדי באותו האופן כמו במקרה הסוף-ממדי.

משפט: יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} אופרטור קומפקטי צמוד עצמית על מרחב הילברט (מרוכב או ממשי) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} . אז קיים בסיס אורתונורמלי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} המורכב מווקטורים עצמיים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} וכל ערך עצמי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} הוא ממשי. קבוצת הערכים העצמיים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} מורכבת כולה מנקודות מבודדות, פרט אולי ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} (אם הוא בכלל ערך עצמי) והיא בפרט בת מנייה. המרחב העצמי המתאים לכל ערך עצמי שונה מאפס הוא סוף-ממדי.

כמו בהוכחה של המשפט הספקטרלי במקרה הסוף-ממדי, גם כאן הרעיון המרכזי הוא להוכיח את קיומו של לפחות וקטור עצמי אחד של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} . מרגע שעשינו זאת, ניתן לקבל באופן אינדוקטיבי מערכת אורתונורמלית של וקטורים עצמיים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} ובעזרת הקומפקטיות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} ניתן להראות שמערכת זו היא בסיס אורתונורמלי למרחב. במקרה כללי זה, לא ניתן להשתמש במשפט היסודי של האלגברה כדי להוכיח את קיומו של וקטור עצמי (שהרי הפולינום האופייני כלל לא מוגדר עבור אופרטורים במרחב הילברט כללי). על ידי שימוש בכופלי לגרנז', ניתן להוכיח שעבור אופרטור הרמיטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} על מרחב הילברט סוף-ממדי, הערך העצמי הגדול ביותר שלו שווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sup_{\left\Vert x\right\Vert =1}\left\langle Tx,x\right\rangle } . מכאן ניתן לשער שעבור אופרטור קומפקטי צמוד עצמית על מרחב הילברט שרירותי, המספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sup_{\left\Vert x\right\Vert =1}\left\langle Ax,x\right\rangle } יהיה ערך עצמי שלו גם אם המרחב הוא אינסוף-ממדי. השערה זו מסתברת כנכונה וזוהי תמצית ההוכחה לגרסה זו של המשפט הספקטרלי.

הפירוק הספקטרלי ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} אשר ניתן על ידי המשפט הוא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Ax=\sum_{k}\lambda_{k}\left\langle x,\varphi_{k}\right\rangle \varphi_{k}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi_k} הם וקטורים עצמיים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} עם ערכים עצמיים מתאימים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_k} . הסכום באגף ימין אינו חייב להיות אינסופי (ייתכן של-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} יש רק מספר סופי של ערכים עצמיים) אך כאשר הוא אינסופי, מתקיים בהכרח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_k \to 0} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k \to \infty} . במקרה זה, האופרטור שמגדיר אגף ימין בשוויון לעיל לא רק מתכנס נקודתית ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} אלא גם מתכנס אליו בנורמה האופרטורית.

הצגה אחרת לפירוק הספקטרלי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} היא כדלקמן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=\sum_{i}\lambda_{i}P_{i}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_i} היא ההטלה האורתוגונלית על המרחב העצמי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_i} וההתכנסות באגף ימין (אם מדובר בסכום אינסופי) היא בנורמה האופרטורית. כמובן, מתקיים גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I=\sum_{i}P_{i}} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{i}P_{j}=0} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i \ne j} , באופן אנלוגי למשפט הפירוק הספקטרלי הסוף-ממדי.

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{ \varphi_{b}\right\} _{b\in B}} הוא בסיס אורתונורמלי ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} כפי שמובטח במשפט (כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi_{b}} הוא וקטור עצמי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} עם ערך עצמי מתאים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_b} ) אז ניתן להגדיר העתקה אוניטרית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U:\mathcal{H}\to\ell_{2}\left(B\right)} (ראו מרחב Lp) על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Ux=\left(\left\langle x,\varphi_{b}\right\rangle \right)_{b\in B}} . לפי הגדרה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} דומה אוניטרית לאופרטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle UAU^{-1}} על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell_{2}\left(B\right)} וקל לבדוק שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle UAU^{-1}\left(\left(x_{b}\right)_{b\in B}\right)=\left(\lambda_{b}x_{b}\right)_{b\in B}} . כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} דומה אוניטרית לאופרטור "אלכסוני" על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ell_{2}\left(B\right)} או "לכסינה". בדרך כלל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} הוא ספרבילי ואז ניתן לזהות את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} עם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{N}} ולהציג את האופרטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle UAU^{-1}} בתור המטריצה האינסופית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\lambda_{i}\delta_{ij}\right)_{i,j=1}^{\infty}} , באנלוגיה מוחלטת למקרה הסוף-ממדי.

נוסחי המשפט לעיל נכונים באופן כללי לאופרטורים נורמליים (אם כי להם יכולים להיות ערכים עצמיים מרוכבים) וכמו במקרה הסוף-ממדי, גם כאן ניתן למצוא פירוק ספקטרלי משותף עבור משפחה של אופרטורים קומפקטיים נורמליים מתחלפים בכפל (ההצגות המתקבלות הן דומות לאלה שבמקרה הסוף-ממדי). כמו כן, בהינתן פונקציה מרוכבת חסומה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi : \mathbb{C} \to \mathbb{C}} , ניתן להגדיר אופרטור קומפקטי נורמלי חדש לפי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi\left(A\right)=\sum_{i}\phi\left(\lambda_{i}\right)P_{i}}

בכך מתקבל תחשיב פונקציונלי עבור משפחת האופרטורים הקומפקטיים הנורמליים, בדומה למקרה הסוף-ממדי.

דוגמה

יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}=L^{2}\left(\left[0,1\right]\right)} מרחב הפונקציות המרוכבות האינטגרביליות לבג בריבוע על הקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[0,1\right]} (ראו מרחב Lp). זהו מרחב הילברט עם המכפלה הפנימית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle =\int_{0}^{1}f\left(x\right)\overline{g\left(x\right)}dx} . בהינתן פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K\in L^{2}\left(\left[0,1\right]^{2}\right)} , ניתן להגדיר אופרטור ליניארי על ${\mathcal {H}}$ באופן הבא:

\left(T_{K}f\right)\left(x\right)=\int _{0}^{1}K\left(x,y\right)f\left(y\right)dy\quad \forall x\in \left[0,1\right]

זהו אופרטור ליניארי חסום על ${\mathcal {H}}$ . קל לבדוק שהצמוד ההרמיטי של $T_{K}$ הוא האופרטור $T_{K^{'}}$ , כאשר $K^{'}\left(x,y\right):={\overline {K\left(y,x\right)}}$ . מכאן נובע בקלות ש- $T_{K}$ הוא אופרטור נורמלי ובעזרת משפט ארצלה-אסקולי ניתן להראות שהוא אופרטור קומפקטי. לכן ניתן להפעיל את המשפט הספקטרלי לאופרטורים קומפקטיים נורמליים ולקבל את ההצגה הבאה עבור $T_{K}$ :

\left(T_{K}f\right)\left(x\right)=\sum _{i}\left(\lambda _{i}\int _{0}^{1}f\left(t\right){\overline {\varphi _{i}\left(t\right)}}dt\right)\varphi _{i}\left(x\right)

כאשר $\varphi _{i}$ הם הווקטורים העצמיים של $T_{K}$ (בהקשר זה, יותר מקובל לקרוא להם פונקציות עצמיות) ו- $\lambda _{i}$ הם הערכים העצמיים המתאימים להם. הסכום באגף ימין (אם הוא אינסופי) מתכנס ביחס לנורמה של ${\mathcal {H}}$ , כלומר

\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}\left|\left(T_{K}f\right)\left(x\right)-\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\left\langle f,\varphi _{i}\right\rangle \varphi _{i}\left(x\right)\right|^{2}dx=0

$T_{K}$ הוא דוגמה לאופרטור הילברט-שמידט. באותו נושא, ראו משפט מרסר.

משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים חסומים צמודים עצמית

כעת נדון במקרה של אופרטור חסום וצמוד עצמית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} על מרחב הילברט כלשהו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} . במקרה זה, הנוסח המקורי של משפט הפירוק הספקטרלי (במקרה הסוף-ממדי או במקרה של אופרטור קומפטי) אינו בהכרח מתקיים. למשל, אופרטור ההכפלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(Tf\right)\left(x\right)=xf\left(x\right)} על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^{2}\left(0,1\right)} הוא חסום וצמוד עצמית אבל כלל אין לו ערכים עצמיים. הפתרון לבעיה זו הוא להחליף את קבוצת הערכים העצמיים בספקטרום של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} (אשר בניגוד לקבוצת הערכים העצמיים, מובטח לנו שהוא תמיד אינו ריק). בצורה זו ניתן לקבל הכללות לנוסחים האחרים של המשפט הספקטרלי. במקרה זה, האופרטור לא יתפרק לסכום בן מניה של הטלות, אלא לאינטגרל ביחס למעין מידה על הספקטרום של האופרטור. גם הנוסח השני של המשפט ניתן להכללה בהקשר זה: האופרטור יהיה דומה אוניטרית לאופרטור הכפלה על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^{2}\left(\Omega,\mathcal{M},\mu\right)} (עבור מרחב מידה מתאים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\Omega,\mathcal{M},\mu\right)} ).

כמו במקרים הקודמים, גם כאן המשפט ניתן להכללה לאופרטורים נורמליים. כמו כן, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{T}} היא משפחה של אופרטורים חסומים ונורמליים אשר מתחלפים בכפל זה עם זה, ניתן למצוא פירוק ספקטרלי משותף לכל משפחת האופרטורים. במקרה זה אלגברת האופרטורים הנוצרת על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{T}} היא אלגברת סי כוכב קומוטטיבית והדבר מאפשר שימוש בטכניקות החזקות של תורת גלפנד כדי לקבל הוכחה קצרה לגרסה כללית זו של המשפט הספקטרלי. לפני הצגת גרסה זו של המשפט, אנו צריכים מספר מושגים מקדימים. למען הפשטות, נניח ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} הוא מרחב הילברט מעל שדה המספרים המרוכבים.

תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} תת-אלגברת סי כוכב קומוטטיבית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{L}\left(\mathcal{H}\right)} (אוסף האופרטורים הליניאריים החסומים על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} ).

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} נקראת לא מנוונת אם היא מפרידה נקודות ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} . כלומר, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Tv=0} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T \in \mathcal{A}} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} הוא וקטור האפס ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} . דרישה זו מתקיימת למשל אם אופרטור היחידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} שייך ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} .
הספקטרום של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} , אשר מסומן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Sigma := \sigma\left(\mathcal{A}\right)} , הוא אוסף כל הפונקציונלים הליניאריים הכפליים על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} . כלומר, איבר ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma\left(\mathcal{A}\right)} הוא הומומורפיזם של אלגבראות בנך מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{C}} אשר אינו הומומורפיזם האפס. ניתן לצייד את הספקטרום בטופולוגיה החלשה-* וכאשר האלגברה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} היא לא מנוונת, מתקבל מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית.
אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T \in \mathcal{A}} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{T}} מסמן את התמרת גלפנד (נקרא גם טרנספורם גלפנד) של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} . זוהי פונקציה מרוכבת רציפה המוגדרת על הספקטרום של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} באופן הבא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{T}\left(h\right)=h\left(T\right)} . משפט גלפנד-נאימרק אומר שההעתקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T\mapsto\widehat{T}} היא איזומורפיזם של אלגבראות סי כוכב מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{0}\left(\Sigma\right)} (הסימון האחרון מתייחס לאוסף הפונקציות המרוכבות הרציפות על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Sigma} המתאפסות באינסוף). לכן התמרת גלפנד ההפוכה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \mapsto T_f} (המוגדרת להיות פשוט ההעתקה ההפוכה להעתקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T\mapsto\widehat{T}} ) היא מוגדרת היטב.
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\left(\Sigma\right)} הוא אוסף כל הפונקציות המרוכבות על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Sigma} אשר חסומות ומדידות בורל. גם זו היא אלגברת סי כוכב ביחס לפעולות האלגבריות הנקודתיות, הצמדה קומפלקסית ונורמת הסופרמום.

נוסח המשפט משתמש במושג של מידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} -הטלתית, שהיא העתקה על מרחב מדיד אשר מחזירה הטלות אורתוגונליות על מרחב ההילברט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} ומקיימת אקסיומות דומות לאלה של מידה חיובית. ניתן להגדיר את האינטגרל של פונקציה מרוכבת חסומה ביחס לכל מידה הטלתית. לפרטים, ראו את הערך על מידות הטלתיות.

כעת אנו יכולים לנסח את המשפט הספקטרלי בהקשר הנוכחי.

משפט: תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} תת-אלגברת סי כוכב קומוטטיבית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{L}\left(\mathcal{H}\right)} ונניח שהיא לא מנוונת. נסמן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Sigma} את הספקטרום שלה. אזי קיימת מידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} -הטלתית רגולרית יחידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Sigma} כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=\int_{\Sigma}\widehat{T}\, dP} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T \in \mathcal{A}} . בנוסף, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S\in\mathcal{L}\left(\mathcal{H}\right)} הוא אופרטור חסום כלשהו, התנאים הבאים שקולים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} מתחלף עם כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T \in \mathcal{A}} .
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} מתחלף עם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(E)} עבור כל קבוצת בורל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E \subseteq \Sigma} .
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} מתחלף עם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{\Sigma} f \, dP} עבור כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \in B\left(\Sigma\right)} .

המידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} במשפט מכונה לעיתים המידה הספקטרלית המתאימה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} .

ההעתקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\mapsto T_{f}} מציגה את האלגברה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{0}\left(\Sigma\right)} כאוסף של אופרטורים חסומים על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} (ספציפית, בתור האלגברה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} ). ניתן להרחיב הצגה זו ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\left(\Sigma\right)} באופן הבא. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u,v \in \mathcal{H}} , ההעתקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\mapsto\left\langle T_{f}u,v\right\rangle } היא פונקציונל ליניארי חסום על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_{0}\left(\Sigma\right)} בעל נורמה החסומה מלעיל על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\Vert u\right\Vert \left\Vert v\right\Vert } . ממשפט ההצגה של ריס לפונקציונלים ליניאריים חסומים על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_0 (\cdot)} נובע שקיימת מידת בורל מרוכבת רגולרית יחידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{u,v}} על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Sigma} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle T_{f}u,v\right\rangle =\int_{\Sigma}f\, d\mu_{u,v}} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u,v \in \mathcal{H}} וכך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\Vert \mu_{u,v}\right\Vert \le\left\Vert u\right\Vert \left\Vert v\right\Vert } . הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_{u,v}} מכונה לעיתים המידה הספקטרלית המתאימה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} . כעת בהינתן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \in B\left(\Sigma\right)} , מתקיים

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left|\int_{\Sigma}f\, d\mu_{u,v}\right|\le\left\Vert f\right\Vert _{\mbox{sup}}\left\Vert \mu_{u,v}\right\Vert \le\left\Vert f\right\Vert _{\mbox{sup}}\left\Vert u\right\Vert \left\Vert v\right\Vert }

לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u,v \in \mathcal{H}} . קל לבדוק שהתבנית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(u,v\right)\mapsto\int_{\Sigma}f\, d\mu_{u,v}} היא ססקווילינארית ואי-השוויון לעיל מראה שהיא חסומה, לכן לפי משפט ההצגה לתבניות ססקווילינאריות חסומות על מרחב הילברט, קיים אופרטור חסום יחיד $T_{f}\in {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right)$ כך ש- $\left\langle T_{f}u,v\right\rangle =\int _{\Sigma }f\,d\mu _{u,v}$ לכל $u,v\in {\mathcal {H}}$ וכך ש- $\left\Vert T_{f}\right\Vert \leq \left\Vert f\right\Vert _{\mbox{sup}}$ . בכך הרחבנו את התמרת גלפנד ההפוכה $f\mapsto T_{f}$ להצגה של האלגברה $B\left(\Sigma \right)$ כתת-אלגברת סי כוכב של ${\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right)$ (המכילה כמובן את ${\mathcal {A}}$ ). זהו המפתח להוכחת נוסח זה של המשפט הספקטרלי, שכן כעת ניתן פשוט להגדיר $P\left(E\right)=T_{\chi _{E}}$ לכל קבוצת בורל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E\subseteq\Sigma} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi_{E}} היא הפונקציה המציינת של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} . בכך מתקבלת מידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} -הטלתית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} אשר מקיימת את כל התכונות במשפט. לכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} מקיימת גם את השוויון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_{f}=\int_{\Sigma}f\, dP} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\in B\left(\Sigma\right)} .

כעת נציג את ההכללה של הנוסח השני של משפט הפירוק הספקטרלי, אשר מדבר על דמיון אוניטרי של אופרטור (או באופן כללי יותר, אלגברת אופרטורים) לאופרטור הכפלה על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^2} (או באופן כללי, אלגברה של אופרטורי הכפלה).

משפט: תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} תת-אלגברת סי כוכב קומוטטיבית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{L}\left(\mathcal{H}\right)} ונניח שהיא לא מנוונת. נסמן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Sigma} את הספקטרום שלה. אזי קיים מרחב מידה פריק וסמי-סופי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\Omega,\mathcal{M},\mu\right)} , העתקה אוניטרית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U:\mathcal{H}\to L^{2}\left(\mu\right)} והומומורפיזם איזומטרי של אלגבראות סי כוכב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T\mapsto\phi_{T}} מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^{\infty}\left(\mu\right)} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle UTU^{-1}\psi=\phi_{T}\psi} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi\in L^{2}\left(\mu\right)} ולכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T \in \mathcal{A}} . ניתן לבחור את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega} להיות איחוד זר של עותקים של תתי-קבוצות מסוימות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Sigma} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} היא סופית על כל קבוצה באיחוד ומתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi_T = \widehat{T}} על כל קבוצה באיחוד. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} הוא ספרבילי, ניתן לבחור את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} להיות מידה סופית.

יש חיסרון מסוים בנוסח זה של המשפט הספקטרלי ביחס לנוסח שניתן קודם לכן - מרחב המידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\Omega,\mathcal{M},\mu\right)} וההעתקה האוניטרית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} , בניגוד למידה ההטלתית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} , אינם נקבעים באופן יחיד על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} . הדבר מקשה על מציאת קריטריון לדמיון אוניטרי בין שני אופרטורים נורמליים חסומים שרירותיים. עם זאת, המשפט עודנו שימושי בנוסח זה. נעיר שלמרות חוסר היחידות במשפט, קיימת בחירה קנונית של מרחב המידה וההעתקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} , אשר ניתנת על ידי תורת האן-הלינגר של ריבויים ספקטרליים.

אופרטור נורמלי חסום על מרחב הילברט ותחשיב פונקציונלי

נצמצם כעת את כל התאוריה הכללית לעיל למקרה של אופרטור נורמלי יחיד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} על מרחב הילברט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}} . במקרה זה, תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}_T} האלגברה הנוצרת על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T,T^*} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} . זוהי אלגברת סי כוכב קומוטטיבית ולא מנוונת (הקומוטטיביות נובעת מהנורמליות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} ) וניתן להפעיל עליה את המשפטים הקודמים. יתרה מזאת, תורת גלפנד אומרת שבמקרה זה ניתן לזהות את הספקטרום של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}_T} עם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma\left(T\right)\subset\mathbb{C}} (הספקטרום של האופרטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} ) כך שהתמרת גלפנד של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} מזוהה עם הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \iota\left(\lambda\right)=\lambda} על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma\left(T\right)} . לכן קיימת מידה הטלתית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_T} על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma\left(T\right)} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=\int_{\sigma\left(T\right)}\lambda\, dP_{T}\left(\lambda\right)} .

התכונות הסטנדרטיות של מידות הטלתיות (ובפרט אינטגרציה ביחס להן) הופכות הצגה זו של האופרטור לנוחה במיוחד. למשל, היא מאפשרת לזהות בקלות את הערכים העצמיים של האופרטור T: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_{0}\in\sigma\left(T\right)} אז התמונה של ההטלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{T}\left(\left\{ \lambda_{0}\right\} \right)} שווה לגרעין של המרחב העצמי המתאים ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_0} , כלומר ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ker\left(T-\lambda_{0}I\right)} . לכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_0} הוא ערך עצמי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} אם ורק אם תמונת ההטלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{T}\left(\left\{ \lambda_{0}\right\} \right)} היא שונה ממרחב האפס. בפרט, ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} אין ספקטרום נקודתי (כלומר, אין לו ערכים עצמיים) אם ורק אם המידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_T} היא לא אטומית.

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\left(\lambda\right)} הוא פולינום מרוכב ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{\lambda}} , ההצבה הפורמלית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} בפולינום (במקום המשתנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} ) שווה לאופרטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{\sigma\left(T\right)}p\left(\lambda\right)\, dP_{T}\left(\lambda\right)} . מסיבה זו טבעי להגדיר את האופרטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(T\right)} (עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\in B\left(\sigma\left(T\right)\right)} שרירותית) באופן הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(T\right)=\int_{\sigma\left(T\right)}f\, dP_{T}}

בצורה זו מתקבל תחשיב בורל פונקציונלי עבור האופרטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} . שימוש טיפוסי בתחשיב זה הוא לצורך הגדרת שורש של אופרטור חיובי חסום. קל להראות שהספקטרום של אופרטור חיובי מכיל רק מספרים ממשיים אי-שליליים ולכן ניתן להגדיר את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{T}} לפי הנוסחה הנ"ל.

לפני הצגת התכונות של התחשיב הפונקציונלי, נגדיר מושג של התכנסות אשר מופיע באופן שכיח בהקשר זה. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{1},f_{2},\dots} היא סדרה של פונקציות מרוכבות על קבוצה כלשהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} , נאמר ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_n \to f} נקודתית ובחסימות אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_n (s) \to f(s)} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s \in S} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sup\left\{ \left|f_{n}\left(s\right)\right|:s\in S,\, n\ge1\right\} <\infty} .

משפט (תחשיב בורל פונקציונלי לאופרטורים נורמליים חסומים): יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{H}\right)} אופרטור נורמלי. אזי קיים הומומורפיזם יחיד של אלגבראות כוכב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \mapsto f(T)} מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\left(\sigma\left(T\right)\right)} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{L}\left(\mathcal{H}\right)} עם התכונות הבאות:

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(\lambda) = \lambda} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda \in \sigma (T)} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(T) = T} .
אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_n \to f} נקודתית ובחסימות, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{n}\left(T\right)\to f\left(T\right)} בטופולוגיה האופרטורית החזקה.

והוא מוגדר כנזכר לעיל. בנוסף יש לו את התכונות הבאות:

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} היא תת-אלגברת סי כוכב קומוטטיבית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{L}\left(\mathcal{H}\right)} המכילה את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \widehat{T}} היא התמרת גלפנד של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} ביחס לאלגברה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} , ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{\mathcal{A}}} היא המידה הספקטרלית המתאימה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(T\right)=\int_{\sigma\left(\mathcal{A}\right)}f\circ\widehat{T}\, dP_{\mathcal{A}}} .
אם $S\in {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right)$ מתחלף עם $T$ , אז $S\in {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right)$ מתחלף עם $f\left(T\right)$ , לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \in B\left(\sigma\left(T\right)\right)} .

נדגים את התחשיב הפונקציונלי עבור אופרטור הכפלה. יהי $\left(\Omega ,{\mathcal {M}},\mu \right)$ מרחב מידה ויהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H}=L^{2}\left(\Omega,\mathcal{M},\mu\right)} . נניח ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} הוא אופרטור של הכפלה בפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi\in L^{\infty}\left(\mu\right)} (כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Tf=\phi f} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \in L^{2}\left(\mu\right)} ). אז קל להראות שהספקטרום של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} הוא הטווח העיקרי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi} , כלומר קבוצת הנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda \in \mathbb{C}} עבורן הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{ \omega:\left|\phi\left(\omega\right)-\lambda\right|<\varepsilon\right\} } היא ממידה חיובית לכל בחירה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon >0} . מכאן נובע ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi\left(\omega\right)\in\sigma\left(T\right)} לכמעט כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega \in \Omega} (ביחס למידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} ). מאחר ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^{\infty}\left(\mu\right)} הוא מרחב של מחלקות שקילות (אנו מזהים פונקציות אשר שוות זו לזו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} -כב"מ), ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mbox{Im}\left(\phi\right)\subseteq\sigma\left(T\right)} . אז ניתן להראות ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(T\right)} הוא אופרטור הכפלה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \circ \phi} עבור כל בחירה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \in B\left(\sigma\left(T\right)\right)} .

משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים כלליים צמודים עצמית

קיימת גם גרסה של המשפט הספקטרלי לאופרטורים ליניאריים נורמליים אשר אינם בהכרח חסומים. למשל, על פי רוב, אופרטורים דיפרנציאליים הם לא חסומים. גרסה זו של המשפט הספקטרלי משמשת בהוכחת משפט סטון על חבורות חד-פרמטריות אוניטריות.

ראו גם

לקריאה נוספת

Linear Algebra, K. Hoffman & R. Kunze, Prentice-Hall, Inc., 1971
Functional Analysis, Walter Rudin, McGraw-Hill Science, 1991
A Course in Functional Analysis, John B. Conway, Springer, Inc., 1994
A Course in Abstract Harmonic Analysis, Gerald B. Folland, CRC-Press, 1995
Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity, Paul R. Halmos, Chelsea Pub Co, 1998

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט הפירוק הספקטרלי33130907Q1425077

משפט הפירוק הספקטרלי

תוכן עניינים

המקרה הסוף-ממדי

הכללות ושימושים

משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים קומפקטיים צמודים עצמית

דוגמה

משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים חסומים צמודים עצמית

אופרטור נורמלי חסום על מרחב הילברט ותחשיב פונקציונלי

משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים כלליים צמודים עצמית

ראו גם

לקריאה נוספת

תפריט ניווט

משפט הפירוק הספקטרלי

המקרה הסוף-ממדי

הכללות ושימושים

משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים קומפקטיים צמודים עצמית

דוגמה

משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים חסומים צמודים עצמית

אופרטור נורמלי חסום על מרחב הילברט ותחשיב פונקציונלי

משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים כלליים צמודים עצמית

ראו גם

לקריאה נוספת

תפריט ניווט

חיפוש