תחום הערכה (תורת החוגים)

בתורת החוגים, תחום הערכה הוא תחום שלמות המכיל, לכל איבר בשדה השברים שלו, את האיבר או את ההפכי שלו. חוגי הערכה הם המסגרת האלגברית לטיפול בהערכות של שדות.

הקשר להערכות

אם $\ \nu :F^{\times }\rightarrow \Gamma$ הערכה לא ארכימדית (כאשר $\ \Gamma$ חבורה אבלית סדורה לינארית), אז אוסף האברים $\ {\mathcal {O}}_{\nu }=\{x\in F:\nu (x)\geq 0\}$ הוא תחום הערכה; ולהיפך, כל תחום הערכה הוא בעל מבנה כזה, והוא אף קובע את ההערכה המתאימה לו (עד כדי איזומורפיזם של חבורת הערכים).

אם ההערכה לעיל דיסקרטית, חוג ההערכה המתאים לה הוא תחום הערכה דיסקרטית. מבחינה אלגברית, האחרונים מתאפיינים בכך שהם נותריים.

כל תת-חוג נורמלי (כלומר, שלם אלגברית) של שדה הוא חיתוך חוגי ההערכה המכילים אותו. לכן, לכל איבר של שדה השברים הנמצא מחוץ לחוג כזה D, יש הערכה של השדה המזהה את אברי D כשלמים, ואת האיבר כלא-שלם.

מבנה אלגברי

כל תחום הערכה הוא תחום בזו מקומי, ולהיפך: תחום בזו מקומי הוא תחום הערכה. תחומי הערכה מתאפיינים גם בכך שקבוצת האידאלים שלהם סדורה לינארית (וגם בכך שקבוצת האידאלים הראשיים שלהם סדורה לינארית).

מן ההגדרה ברור שהתכונה להיות תחום הערכה סגורה להגדלת החוג בתוך שדה השברים שלו. בפרט, כל מיקום של חוג הערכה הוא בעצמו חוג הערכה. למעשה, אם R תחום הערכה ו-F שדה השברים שלו, אז יש התאמה בין תת-החוגים של F המכילים את R לבין האידאלים הראשוניים של R, המשייכת חוג לאידאל המקסימלי שלו, ואידאל P למיקום $\ A_{P}$. כל מנה ראשונית של תחום הערכה היא תחום הערכה.

בתחום הערכה, כל רדיקל הוא אידאל ראשוני.

תחום שלמות R הוא סגור בשלמות (integrally closed) אם ורק אם הוא חיתוך של תחומי הערכה.

חוגי הערכה

כל חוג קומוטטיבי (עם יחידה) שקבוצת האידאלים שלו סדורה לינארית, נקרא חוג הערכה (כך, תחום הערכה אינו אלא חוג הערכה שהוא תחום שלמות). מחלקה זו של חוגים סגורה לתמונות הומומורפיות.