אינוולוציה

הפעלת אינוולוציה פעמיים מחזירה את האיבר המקורי

במתמטיקה, אינוולוציה היא פונקציה ההופכית לעצמה. כלומר מתקיים $f(f(x))=x$ לכל $x$ .

באופן כללי יותר, השם "אינוולוציה" משמש לתיאור כל איבר מסדר 2 במבנה אלגברי עם איבר יחידה.

תכונות

מן ההגדרה נובע שאינוולוציות הן תמיד פעולות אונאריות חד-חד-ערכיות ועל, כלומר תמורות. תמורה היא אינוולוציה אם ורק אם בפירוק שלה למחזורים זרים מופיעים רק חילופים ונקודות שבת.

מספר האינוולוציות המוגדרות על קבוצה סופית של $n$ איברים נקרא מספר טלפון ה-$n$-י (סדרה A000085 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים). מספרים אלו מקיימים את נוסחת הנסיגה:

$\begin{array}{r}{a}_0=a_1=1\\ a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}\end{array}$

הוכחה: נניח ללא הגבלת הכלליות שהקבוצה היא $\{1,\dots ,n\}$ . ישנן $a_{n-1}$ אינוולוציות שבהן $n$ נקודת שבת (כל אינוולוציה כזו מתאימה לאינוולוציה אחת על $\{1,\dots ,n-1\}$). ישנן $a_{n-2}$ אינוולוציות שבהן $n$ עובר ל-$k\ne n$ (כל אינוולוציה כזו מתאימה לאינוולוציה אחת על $\{1,\dots ,k-1,k+1,\dots ,n-1\}$). יש $n-1$ ערכים אפשריים ל-$k\ne n$ .

מספרי טלפון הראשונים הם: 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496.

דוגמאות

• פונקציית הזהות היא אינוולוציה באופן טריוויאלי.
• הפונקציות הממשיות $-x,x^{-1}$ . אלו דוגמאות פרטיות לפעולת לקיחת הופכי בחבורה, שהיא תמיד אינוולוציה.
• באופן כללי פונקציה ממשית היא אינוולוציה אם ורק אם הגרף שלה סימטרי ביחס לישר $x=y$ .
• פעולת ההצמדה של מספר מרוכב ופעולת השחלוף ופעולת הצמדה של מטריצה. באופן כללי, כל אינוולוציה במובן של תורת החוגים היא אינוולוציה במובן הכללי.
• מבין האיזומטריות של המישור האינוולוציות הן: פונקציית הזהות, כל שיקוף וכל סיבוב של 180 מעלות.
• פעולת השלילה בלוגיקה מתמטית היא אינוולוציה. באופן דומה, כך גם פעולת המשלים בתורת הקבוצות.
• הצפנה באמצעות מכונת אניגמה היא אינוולוציה – תהליך הפענוח של טקסט מתבצע על ידי הפעלה חוזרת של המכונה על הטקסט המוצפן.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0