התפלגות כי בריבוע

התפלגות כי בריבוע

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$k\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_{>0}$ (ידוע כ"דרגות חופש")
תומך	$x\in [0,+\mathrm{\infty })$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	$\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)}{x}^{\frac{k}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$1-\frac{1}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)}\gamma (\frac{k}{2},\frac{x}{2})$
תוחלת	$k$
סטיית תקן	$\sqrt{2k}$
חציון	$\approx k(1-\frac{2}{9k}{)}^3$
ערך שכיח	$\max (k-2,0)$
שונות	$2k$
אנטרופיה	$\begin{array}{rl}\frac{k}{2}& +\ln (2\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2}))\\ & +(1-\frac{k}{2})\psi (\frac{k}{2})\text{(nats)}\end{array}$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$(1-2t{)}^{-\frac{k}{2}}\text{ for }t<\frac{1}{2}$
פונקציה אופיינית	$(1-2it{)}^{-\frac{k}{2}}$
צידוד	$\sqrt{8/k}$
גבנוניות	$\frac{12}{k}$

התפלגות כי בריבוע (${\chi }^2$ , כהגיית כ רפה) היא התפלגות בעלת חשיבות רבה בסטטיסטיקה. חשיבותה העיקרית בהסקה סטטיסטית נובעת מהעובדה שתחת הנחות סבירות, גדלים הניתנים לחישוב באופן פשוט מתפלגים בקירוב בהתאם להתפלגות זו תחת השערת האפס. בין היתר, ההתפלגות משמשת כבסיס למבחן כי בריבוע.

הגדרה

בהינתן מספר טבעי $k$ (כלומר, שלם וחיובי), נאמר כי למשתנה מקרי רציף $Y$ יש התפלגות כי בריבוע עם $k$ דרגות חופש, אם צפיפות ההסתברות שלו נתונה בביטוי

$f(x;k)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2^{k/2}\mathrm{\Gamma }(k/2)}{x}^{(k/2)-1}{e}^{-x/2}& \text{for }x>0\\ 0& \text{for }x\le 0\end{array}$

כאשר $\mathrm{\Gamma }(z)$ היא פונקציית גמא.

במקרה כזה, מסמנים $Y\sim {\chi }_k^2$ .

קשר להתפלגויות אחרות

בהינתן $k$ משתנים מקריים $Z_1,\dots ,Z_k$ בלתי תלויים, שלכולם התפלגות נורמלית סטנדרטית (כלומר: התפלגות נורמלית עם תוחלת 0 ושונות 1), המשתנה

$Y=Z_1^2+\cdots +Z_k^2$

מתפלג כי בריבוע עם $k$ דרגות חופש.

התפלגות כי בריבוע היא מקרה פרטי של התפלגות גמא, עם פרמטר צורה $\alpha =\frac{k}{2}$ ופרמטר קצב $\lambda =\frac{1}{2}$.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התפלגות כי בריבוע בוויקישיתוף

ערך זה הוא קצרמר בנושא סטטיסטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.