הפרדוקס של בנך-טרסקי

פרדוקס בנך-טרסקי קובע שניתן לפרק כדור ולהרכיב ממנו שני כדורים באותו גודל

הפרדוקס של בנך–טרסקי (Banach–Tarski Paradox) הוא משפט מתמטי, הקובע שאפשר לחלק כדור למספר סופי של נתחים זרים באופן כזה שאחרי הזזה וסיבוב של הנתחים, ניתן יהיה להרכיב מהם שני כדורים מלאים, זהים במידותיהם לכדור המקורי. המשפט מסתמך במידה רבה על עבודה קודמת של האוסדורף, ויש המכנים אותו "פרדוקס בנך–האוסדורף–טרסקי" בשל כך.

הסבר פורמלי לתוכן המשפט

נגדיר יחס שקילות בין תת־קבוצות של מרחב אוקלידי (n־ממדי) כך: $A,B$ תקראנה חופפות בחלקים אם ניתן להציגן כאיחוד זר של קבוצות $A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},B=\bigcup _{i=1}^{n}B_{i}$ כך שלכל $1\leq i\leq n$ מתקיים כי $A_{i},B_{i}$ חופפות, כלומר כך שקיימות העתקות צפידות (שומרות מרחק) $\phi _{i}$ עבורן $B_{i}=\phi _{i}(A_{i})$ .

דומה, שאם שתי צורות הן חופפות בחלקים, נכון לומר שיש להן אותו "שטח" או "נפח". ואמנם כבר אוקלידס השתמש ברעיון זה ב"יסודות" כדי להגדיר מתי לשתי צורות במישור הדו־ממדי יש אותו שטח; ניתן להראות שהגדרה זו מתיישבת עם ההגדרה המודרנית של שטח.

אולם כאשר מנסים להחיל הגדרה זו על קבוצות מממדים גבוהים יותר, מתברר שעבור $n\geq 3$ כל שתי קבוצות חסומות בעלות פנים לא ריק הן חופפות בחלקים. זהו תוכנו של המשפט שהוכח על ידי סטפן בנך ואלפרד טרסקי ב־1924. חשוב להעיר שחלק הארי של ההוכחה פורסם כבר בשנת 1914 על ידי פליקס האוסדורף, שבנה "פרדוקס" דומה עבור מעטפת כדורית דו־ממדית.

המשמעות המיוחסת לפרדוקס

כבר עמדנו על כך, שכל פונקציית שטח "סבירה" צריכה לכבד חפיפה בחלקים, כלומר – שלקבוצות חופפות בחלקים יהיה אותו שטח. באמצעות פרדוקס דומה, האוסדורף ביקש להראות שלא ניתן להגדיר פונקציית שטח "סבירה" שכזו על כל תת־הקבוצות של הספירה הדו־ממדית (אף על פי שעל הקבוצות הדו־ממדיות במישור כן ניתן לעשות זאת). ב־1914 מצא האוסדורף בחבורת המטריצות האורתוגונליות ${\text{SO}}_{3}(\mathbb {R} )$ תת־חבורה שהיא מכפלה חופשית $\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{3}$ ולכן פועלת פעולה פרדוקסלית על הספירה (לאחר סילוק קבוצה בת מנייה).

את פרדוקס בנך–טרסקי ניתן לפרש ברוח זו כהעשרה משמעותית של אותה טענה: עבור $n\geq 3$ , אם מנסים להגדיר שוויון נפח בין תת־קבוצות של המרחב האוקלידי ה־$n$־ממדי, חייבים לקבל אחת מבין שלוש המגבלות הבאות:

היחס לא יהיה מוגדר על כל תת־הקבוצות של המרחב, אלא רק על קומץ מבין מגוון הקבוצות.

• היחס לא יכבד חפיפה בחלקים – כלומר, צורות חופפות-בחלקים יוגדרו לעיתים כבעלות נפח שונה.
• היחס יהיה מנוון – כל שתי קבוצות (חסומות ובעלות פנים לא ריק) תוגדרנה כשוות נפח.

טרסקי ובנך הדגישו את העובדה, שהבניה של הפרדוקס מסתמכת על אקסיומת הבחירה (ולמעשה ניתן להראות, שבלעדיה בניית הפירוק איננה אפשרית). נראה שמטרתם הייתה להשתמש בפרדוקס כעדות לכך שיש לזנוח את אקסיומת הבחירה. עם זאת, חשוב להדגיש שעל אף שהוא מכונה "פרדוקס", אין במשפט זה הוכחה של סתירה לוגית, שהייתה מחייבת שינוי באקסיומות. מרבית המתמטיקאים ממשיכים להאמין ולהשתמש באקסיומת הבחירה, ורואים במשפט "מוזרות" המצביעה על אחד הפערים בין האינטואיציה האנושית לאמת המתמטית. יש לציין שהנתחים עצמם מהם מרכיבים את הכדורים בפרדוקס הם קבוצות בלתי מדידות לפי מידת לבג, כלומר אי אפשר להגדיר להן נפח באופן טבעי. עובדה זו תורמת ל"קבלת" הפרדוקס בקרב מתמטיקאים.

סקיצה של הוכחה

הפירוק הפרדוקסלי של $F$ מודגם על גרף קיילי שלה

• באופן דומה להוכחה של משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין ניתן להראות שהיחס "$A$ חופף בחלקים לתת־קבוצה של $B$" הוא יחס סדר חלקי. לכן אם נצליח להראות שכדור חופף בחלקים ל־2 כדורים מאותו גודל (ומכאן שהוא חופף בחלקים לכל מספר סופי של כדורים מאותו גודל), נוכל להראות שכל שתי קבוצות חסומות עם פנים לא ריק (כלומר, המכילות כדור וניתנות לכיסוי על ידי מספר סופי של כדורים מכל גודל נתון) הן חופפות בחלקים זו לזו.

עושים זאת כך:

• מראים שבחבורת הסיבובים של ספירת היחידה, ${\text{SO}}_{n}(\mathbb {R} )$ , ניתן למצוא תת-חבורה חופשית $F$ בשני יוצרים $a,b$ .
• ניתן למצוא "פירוק פרדוקסלי" ל־$F$ , כלומר להציג אותה כאיחוד זר של חמש קבוצות:

$$F=aF\cup a^{-1}F\cup bF\cup b^{-1}F\cup \{1_{F}\}$$

כך שניתן להרכיב שני עותקים של $F$ מהקבוצות הללו על ידי הכפלת הקבוצות באברים מ־$F$ :

$$F=aF\cup a(a^{-1}F),F=bF\cup b(b^{-1}F)$$

• אם מסירים מספירת היחידה את הקבוצה (בת המנייה) של נקודות השבת של $F$ , מתקבלת תת־קבוצה $T$ אשר $F$ פועלת עליה באופן חופשי – כלומר, אף אבר מ־$F$ , למעט אבר היחידה, אינו משאיר אף אבר מ־$T$ במקומו.
• על ידי בחירת קבוצת נציגים מכל אחד מהמסלולים שבהן $F$ פועלת על $T$ , והפעלת הקבוצות מהפירוק הפרדוקסלי של $F$ על קבוצת נציגים זו, מתקבל "פירוק פרדוקסלי" של $T$ – כלומר הצגת $T$ כאיחוד זר של חמש קבוצות, כך שמשני זוגות של קבוצות ניתן להרכיב עותק של $T$ על ידי הפעלת איזשהו סיבוב על הקבוצות.
• נותר רק להראות כי $T$ חופפת בחלקים לכל הספירה (כלומר, שניתן להחזיר מספר בן מנייה של נקודות על ידי פירוק והרכבה מחדש של $T$). כך מתקבל פירוק פרדוקסלי של הספירה. כעת, קל לחלק את הכדור כולו על ידי מתיחת קו ישר מכל נקודה בספירה למרכזה. כך מתקבל פירוק פרדוקסלי של הכדור כולו, למעט המרכז. על ידי חפיפה בחלקים אחרונה מוסיפים את הנקודה הזו, כך שמתקבל פירוק פרדוקסלי של הכדור לשני כדורים זהים, כנדרש.

ראו גם

• בעיית תרבוע העיגול של טרסקי
• מספר טרסקי
• הפרדוקס של שרפינסקי-מזורקביץ'

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', הפרדוקס של בנך-טרסקי, באתר "לא מדויק",

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0