טור פורייה הוא טור (סופי או אינסופי) של פונקציות מחזוריות, שמטרתו לקרב פונקציה נתונה.
ברמה עקרונית, "טור פורייה" הוא דרך לתאר כל סוג של פונקציה מחזורית בעזרת חיבור של פונקציות טריגונומטרית בסיסיות (הפונקציות הטריגונומטריות – סינוס וקוסינוס) וההרמוניות שלה (שהן אותה פונקציה בסיסית עם תדר הולך וגדל ומשרעת הולכת וקטנה.) שיטה זו פותחה על ידי ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה.
ניתן להוכיח שאפשר להציג כל פונקציה חלקה מספיק כסכום (ליתר דיוק, טור) של הרמוניות. המרה כזו נקראת פירוק פורייה, והסכום שנוצר נקרא טור פורייה. המרה זו היא שימושית ביותר בתחומים מסוימים של המתמטיקה, הפיזיקה וההנדסה.
במתמטיקה, לעיתים קרובות נוח להציג פונקציה מסוימת בתור סכום או טור של פונקציות פשוטות יותר. בצורה זו ניתן להעמיק את ההבנה של התנהגות הפונקציה על ידי הבנת התנהגות אברי הסכום (הטור). טור פורייה הוא סוג של טור שכזה, שבו מוצגת פונקציה כסכום (טור) של פונקציות מחזוריות.
בפיזיקה ובהנדסה, בעיקר בתחומים הנוגעים לגלים, נוח להציג את המידע בצורת סכום (טור) של הרמוניות. גם יישומי מחשב העוסקים בעיבוד תמונה וקול משתמשים רבות בטורי פורייה לצורך ניתוח ודחיסה של המידע.
בניסוח פורמלי יותר, טור פורייה הוא הצגה של פונקציה שריבועה הוא אינטגרבילי-לבג בקטע סופי כטור אינסופי של פונקציות הרמוניות וטריגונומטריות. זוהי בעצם גרסה בדידה להתמרת פורייה (או טרנספורם פורייה).
מבחינה אלגברית, מדובר בהצגת איבר במרחב וקטורי על ידי צירוף לינארי של איברי בסיס אורתונורמלי של המרחב. כלומר, עבור בסיס אורתונורמלי האיבר
מוצג על ידי
כיוון שהבסיס הוא אורתונורמלי, את המקדמים אפשר לחשב באמצעות הטלה:
ומובטח שהמקדמים יתאפסו עבור כל איברי הבסיס פרט לקבוצה בת-מנייה. לכן אפשר לרשום את ההצגה של כל איבר במרחב זה בצורה
טור פורייה הוא מקרה פרטי של בנייה זו. מאחר שמדובר בטור אינסופי, יש לטפל בבעיות התכנסות ולהראות שהטור אכן מתכנס אל האיבר שאותו מציגים.
בסעיפים הבאים נעסוק בנושאים הקשורים ישירות לטור פורייה הטריגונומטרי. זהו טור פורייה הנפוץ ביותר ולעיתים קרובות כאשר אומרים "טור פורייה" סתם, מתכוונים אליו.
הגדרה פורמלית
תהי פונקציה, . כאשר הוא אוסף הפונקציות המדידות שריבוען אינטגרבילי-לבג בקטע. אזי את אפשר להציג כפיתוח לטור אינסופי באופן הבא:
את הקשר בין מקדמים אלה למקדמים ניתן לחלץ בקלות והוא כאשר . באמצעות החלפת משתנים ניתן להכליל את הפיתוח הזה לכל קטע סופי שהוא.
דוגמה
תהי הפונקציה הלינארית בקטע . כדי שטור פורייה שלה יהיה תקף גם מחוץ לקטע זה, נצטרך להרחיב אותה באופן מחזורי. הפונקציה המורחבת נקראת גם "גל שן-מסור". נשים לב, שהרחבה זו איננה פונקציה רציפה, אך הפיתוח לטור פורייה עדיין קיים.
נחשב את מקדמי פוריה שלה בהצגה הטריגונומטרית (נוח להשתמש בהצגה זו עבור פונקציות זוגיות או אי-זוגיות כפי שנראה להלן).
מאחר ש- פונקציה אי-זוגית, ו- הן פונקציות זוגיות לכל , המכפלות הן פונקציות אי-זוגיות. כתוצאה מכך כל המקדמים של הקוסינוסים מתאפסים:
כעת נחשב את מקדמי הסינוסים:
בסך הכל, טור פורייה של בקטע הוא
חישוב סכומים חלקיים של איברי הטור יתן קירוב של הפונקציה, שיהיה טוב יותר ככל שניקח יותר איברים, כמודגם בתמונה.
בטור זה אפשר להשתמש כדי לחשב את הערך של פונקציית זטא של רימן עבור בעזרת שוויון פרסבל המאפשר להמיר את בעיית חישוב הטור לבעיה של חישוב אינטגרלים (אותה אפשר לחשב מפורשות).
תאוריה
המרחב L²
המרחב כולל את הפונקציות שריבוען אינטגרבילי-לבג בקטע, כלומר עבור , פונקציה מדידה ומתקיים .
במרחב הילברט זה – על אף שהוא מממד אינסופי – קיימת מערכת אורתונורמלית שלמה, הפורשת קבוצה צפופה במרחב. ניתן לראות בכך הכללה של מושג הבסיס (ובפרט בסיס אורתונורמלי) של מרחב וקטורי מממד סופי (לעיתים קוראים גם למערכת אורתונורמלית שלמה אינסופית בשם "בסיס"). המתמטיקאי ז'וזף פורייה וממשיכיו הוכיחו שהפונקציות ההרמוניות יוצרות מערכת אורתונורמלית שלמה.
טור פורייה הוא למעשה דרך להציג איבר במרחב כצירוף לינארי (בדרך כלל אינסופי) של איברי הבסיס הזה, כאשר המקדמים של הצירוף הלינארי נקראים מקדמי פורייה. ניתן לעשות זאת גם עם בסיסים אורתונורמליים אחרים, אבל ביישומים רבים מתגלה השימוש בטורי פורייה כיעיל במיוחד.
באופן דומה גם בסיס הסינוסים והקוסינוסים הוא אורתונורמלי:
אפשר להשתכנע בכך בבדיקה ישירה או מכך שמקבלים אותו על ידי התמרה אוניטרית מבסיס ההרמוניות.
התכנסות
כאשר עוסקים בהתכנסות של טור פורייה יש להבדיל בין התכנסות בנורמה של הטור, לבין התכנסות נקודתית.
ההתכנסות בנורמה פירושה שהטור מתכנס במרחב על פי הנורמה המוגדרת בו. כלומר, מתקיים:
במילים פשוטות: כאשר מגדילים את מספר האיברים בטור החלקי של לאינסוף, הנורמה של ההפרש בין הפיתוח החלקי לבין (שהיא האינטגרל של פונקציית ריבוע ההפרש) שואפת לאפס. תכונה זו מתקיימת עבור כל טור פורייה, בהיותו הצגת איבר ב- על פי בסיס אורתונורמלי.
התכנסות בנורמה לא מחייבת התכנסות של הטור לערך של בכל נקודה בקטע – ההתכנסות הנקודתית של טור פורייה היא תכונה מורכבת יותר, ומחקר רב עוסק במציאת תנאים שבהם היא תתקיים במסגרת האנליזה ההרמונית.
בחישוב של טור פורייה לפונקציה נתונה , יש שני שלבים, הפוכים זה לזה. בשלב ראשון מחשבים, מתוך ההנחה שקיים שוויון מהצורה
את המקדמים המספריים . חישוב כזה ניתן לערוך לכל פונקציה השייכת למרחב הפונקציות . לאחר מכן, מבקשים להציג את הפונקציה באמצעות המקדמים שהתקבלו, כלומר, דורשים כי לכל , הטור באגף ימין יתכנס לערכה של הפונקציה בנקודה .
כאשר פיתח פורייה את התאוריה שלו ב-1807, לא היו בידיו כלים שיענו על הצורך בהתכנסות נקודתית, וזו הסיבה העיקרית לכך שעבודתו נדחתה בתחילה על ידי מתמטיקאים חשובים בני זמנו. בשאלה אילו פונקציות צריכות להיחשב לפונקציות ממשיות[דרושה הבהרה] היה ערפול מסוים במחצית הראשונה של המאה ה-19, ועבודתו של פורייה רק הקשתה על הבהרת התמונה. ב- 1913 ניסח האנליטיקאי הרוסי ניקולאי לוזין את ההשערה, שלפיה טור פורייה של פונקציה רציפה יתכנס נקודתית בכל מקום – אלא שב-1926 מצא מתמטיקאי רוסי אחר, אנדריי קולמוגורוב, דוגמה נגדית שהפריכה השערה זו.
את הפתרון לבעיה זו סיפק המתמטיקאי השוודי לנרט קרלסון ב-1966, כאשר הוכיח שלכל פונקציה במרחב , ובפרט לכל פונקציה רציפה, יש טור פורייה המתכנס אליה נקודתית פרט לקבוצה בת-מניה של נקודות לכל היותר (כמעט בכל מקום). על עבודתו זו, שנחשבה לפריצת דרך באנליזה הרמונית, ועל עבודות רבות אחרות, זכה קרלסון בפרס אבל לשנת 2006.
תופעת גיבס
תופעת גיבס הינה תופעה שבה טור פורייה של פונקציה שאינה רציפה בנקודה, מתכנס בנקודה זו לממוצע הגבולות מימין ומשמאל . יתרה מכך, סביב נקודת אי-רציפות מתקבלות תנודות חזקות; ככל שמוסיפים יותר איברים לקירוב, מצטמצמת הסביבה בה מופיעות התנודות, אך גובהן לא נחלש.
תכונות
בסעיף זה נסמן:
כאשר אנו מניחים כי הן פונקציות המוגדרות על כל הישר באמצעות המשכה מחזורית של הגדרתן בקטע .