העתקה רציונלית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.


העתקה רציונלית (באנגלית rational map) היא סוג של פונקציה חלקית בין יריעות אלגבריות. כאן נניח שהיריעות הן אי-פריקות מעל שדה סגור אלגברית k.

באופן אינטואיטיבי, העתקה רציונלית היא מורפיזם של יריעות המוגדר רק על קבוצה פתוחה צפופה לא ריקה של יריעת התחום (כלומר, היא פונקציה חלקית). להעתקות רציונלית יש חשיבות בגאומטריה אלגברית והתחומים המשיקים.

הגדרה

העתקה רציונלית בין שתי יריעות X ו-Y היא מחלקת שקילות של זוגות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ( f_U , U )} כך ש- היא מורפיזם של יריעות מקבוצה פתוחה לא-ריקה U (ומאחר שהיא פתוחה במרחב אי-פריק היא גם צפופה בו) ל-Y. שני זוגות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (f_U, U)} ו- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (f_{U'}', U')} נקראים שקולים אם הפונקציות שלהן מזדהות על חיתוך תחומיהן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U \cap U'} (שהוא לא ריק משום ש-X יריעה אי-פריקה), כלומר: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall x \in U \cap U' : f_U(x) = f_{U'}'(x)} . כדי להוכיח שזה אכן יחס שקילות, מסתמכים על הלמה הבאה: אם שני מורפיזמים שווים על קבוצה פתוחה צפופה, אזי הם שווים.

העתקה רציונלית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f : X \to Y} נקראת העתקה בירציונלית אם היא דומיננטית (כלומר: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{ \mathrm{Im}(f) } = Y} ) וקיימת העתקה רציונלית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g : Y \to X} כך שהרכבתן מחזירה את העתקת הזהות (על היריעה המתאימה, תלוי בסדר ההרכבה). שתי יריעות נקראות שקולות בירציונלית או איזומורפיות בירציונלית אם קיימות ביניהן העתקות בירציונליות כנ"ל. יש לציין שזו תכונה חלשה יותר מאיזומורפיזם רגיל של יריעות.

יישומים וחשיבות

החשיבות של העתקות בגאומטריה אלגברית היא הקשר בין העתקות כאלה לשדות הפונקציות של היריעות X ו-Y שנסמן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k(X)} ו- בהתאמה.

דוגמאות

פונקציה רציונלית

פונקציה רציונלית ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k(x)} היא מקרה פרטי של העתקה רציונלית. כל פונקציה רציונלית ניתן להציג כמנת פולינומים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}} כך ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P,Q \in k[x]} ו-Q הוא לא פולינום האפס. קל לראות ש-f מוגדרת על הקבוצה הפתוחה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(Q) = \left\{ x \in k | Q(x) \ne 0 \right\} \subset k} בטופולוגיית זריצקי.

שקילות בירציונלית

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:
איור 1

יהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} מעגל שרדיוסו שווה ל-1 ויהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} הישר הממשי שמורכבים כמתואר באיור 1. נתאים בין נקודות המעגל לנקודות הישר באופן הבא: נמקם את המעגל ברדיוס 1 במערכת צירים קרטזית x-y כך שמרכזו נמצא בנקודה (0,0) וקצהו העליון הוא ב-(0,1). בנקודה הנמוכה ביותר משיק המעגל לקו ישר שנסמנו כציר ה-t. קרן יוצאת מ-(0,1) וחותכת את המעגל בנקודה (x,y), שצבועה באדום, ממשיכה ואז חותכת את הישר t בנקודה t, שצבועה בכחול. באמצעות קרן זו מתאימים בין הנקודות (x,y) לנקודות t. אפשר לתאר התאמה זו באמצעות העתקה (בי)רציונלית.

קיימת העתקה בירציונלית מ-A ל-B המוגדרת על ידי

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} a : A \to B \\ t = \frac{2x}{1-y} \end{align}}

העתקה זו מוגדרת לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,y) \in A} פרט ל-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=1} וניתן לראות ש-.
ההעתקה הבירציונלית ההפכית היא

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{c} b : B \to A \\ (x,y) = \left( \frac{4t}{t^2 + 4} \ , \ \frac{t^2-4}{t^2 + 4} \right) \end{array}}

(אפשר לבדוק בחישוב ישיר שבהגדרה זו אכן מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2(t) + y^2(t) = 1} כנדרש).

בחישוב ישיר ניתן לראות ש-

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b \circ a = \mathrm{id}_{A-\{(0,1)\}}}
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \circ b = \mathrm{id}_B}

לכן, A ו-B איזומורפיים בירציונלית, אך הם לא איזומורפיים במובן הרגיל, שכן המעגל הוא קבוצה קומפקטית חסומה ואילו הישר הממשי לא.