העתקה רציונלית
בערך זה |
העתקה רציונלית (באנגלית rational map) היא סוג של פונקציה חלקית בין יריעות אלגבריות. כאן נניח שהיריעות הן אי-פריקות מעל שדה סגור אלגברית .
באופן אינטואיטיבי, העתקה רציונלית היא מורפיזם של יריעות המוגדר רק על קבוצה פתוחה צפופה לא ריקה של יריעת התחום (כלומר, היא פונקציה חלקית). להעתקות רציונליות יש חשיבות בגאומטריה אלגברית והתחומים המשיקים.
הגדרה
העתקה רציונלית בין שתי יריעות ו- היא מחלקת שקילות של זוגות כך ש- היא מורפיזם של יריעות מקבוצה פתוחה לא-ריקה (ומאחר שהיא פתוחה במרחב אי-פריק היא גם צפופה בו) ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} . שני זוגות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (f_U, U)} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (f_{U'}', U')} נקראים שקולים אם הפונקציות שלהן מזדהות על חיתוך תחומיהן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U \cap U'} (שהוא לא ריק משום ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} יריעה אי-פריקה), כלומר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall x \in U \cap U' : f_U(x) = f_{U'}'(x)} . כדי להוכיח שזה אכן יחס שקילות, מסתמכים על הלמה הבאה: אם שני מורפיזמים שווים על קבוצה פתוחה צפופה, אזי הם שווים.
העתקה רציונלית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f : X \to Y} נקראת העתקה בירציונלית אם היא דומיננטית (כלומר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{ \mathrm{Im}(f) } = Y} ) וקיימת העתקה רציונלית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g : Y \to X} כך שהרכבתן מחזירה את העתקת הזהות (על היריעה המתאימה, תלוי בסדר ההרכבה). שתי יריעות נקראות שקולות בירציונלית או איזומורפיות בירציונלית אם קיימות ביניהן העתקות בירציונליות כנ"ל. יש לציין שזו תכונה חלשה יותר מאיזומורפיזם רגיל של יריעות.
יישומים וחשיבות
החשיבות של העתקות בגאומטריה אלגברית היא הקשר בין העתקות כאלה לשדות הפונקציות של היריעות X ו-Y שנסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k(X)} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k(Y)} בהתאמה.
דוגמאות
פונקציה רציונלית
פונקציה רציונלית ב- היא מקרה פרטי של העתקה רציונלית. כל פונקציה רציונלית ניתן להציג כמנת פולינומים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P,Q \in k[x]} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} הוא לא פולינום האפס. קל לראות ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} מוגדרת על הקבוצה הפתוחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(Q) = \left\{ x \in k | Q(x) \ne 0 \right\} \subset k} בטופולוגיית זריצקי.
שקילות בירציונלית
יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} מעגל שרדיוסו שווה ל-1 ויהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} הישר הממשי שמורכבים כמתואר באיור 1. נתאים בין נקודות המעגל לנקודות הישר באופן הבא: נמקם את המעגל ברדיוס 1 במערכת צירים קרטזית x-y כך שמרכזו נמצא בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (0,0)} וקצהו העליון הוא ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (0,1)} . בנקודה הנמוכה ביותר משיק המעגל לקו ישר שנסמנו כציר ה-t. קרן יוצאת מ-(0,1) וחותכת את המעגל בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,y)} , שצבועה באדום, ממשיכה ואז חותכת את הישר t בנקודה t, שצבועה בכחול. באמצעות קרן זו מתאימים בין הנקודות לנקודות t. אפשר לתאר התאמה זו באמצעות העתקה (בי)רציונלית.
קיימת העתקה בירציונלית מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} המוגדרת על ידי
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} a : A \to B \\ t = \frac{2x}{1-y} \end{align}}
העתקה זו מוגדרת לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,y) \in A}
פרט ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=1}
וניתן לראות ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{\mathrm{Im}(a)} = B}
.
ההעתקה הבירציונלית ההפכית היא
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{c} b : B \to A \\ (x,y) = \left( \frac{4t}{t^2 + 4} \ , \ \frac{t^2-4}{t^2 + 4} \right) \end{array}}
(אפשר לבדוק בחישוב ישיר שבהגדרה זו אכן מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2(t) + y^2(t) = 1} כנדרש).
בחישוב ישיר ניתן לראות ש-
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b \circ a = \mathrm{id}_{A-\{(0,1)\}}}
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \circ b = \mathrm{id}_B}
לכן, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} איזומורפיים בירציונלית, אך הם לא איזומורפיים במובן הרגיל, שכן המעגל הוא קבוצה קומפקטית חסומה ואילו הישר הממשי לא.
העתקה רציונלית28946068Q987226