נגזרת כיוונית

במתמטיקה, הנגזרת הכיוונית היא ערך המייצג את קצב השינוי של פונקציית רבת־משתנים בכיוון של וקטור נתון. לכן זוהי הכללה של נגזרת חלקית, שבה הכיוון הוא תמיד במקביל לאחד מהצירים הראשיים.

הגדרה

הנגזרת הכיוונית של פונקציה סקלרית $f({\vec {x}})=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ לאורך וקטור ${\vec {v}}=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ היא הפונקציה המוגדרת על ידי הגבול

$D_{\vec {v}}f=\lim _{h\to 0}{\frac {f({\vec {x}}+h{\vec {v}})-f({\vec {x}})}{h\|{\vec {v}}\|}}$

אם הפונקציה היא דיפרנציאבילית, ניתן לכתוב אותה בעזרת הגרדיאנט $\nabla (f)$ של $f$ באמצעות

$D_{\vec {v}}{f}=\nabla (f)\cdot {\vec {v}}$

כאשר $\cdot$ מציין מכפלה סקלרית. בכל נקודה $p$ , הנגזרת הכיוונית של $f$ מייצגת את קצב השינוי של $f$ לאורך ${\vec {v}}$ בנקודה $p$ .

יש לשים לב שעבור חישוב נגזרת כיוונית על ידי גבול, אין צורך לנרמל את הווקטור, כלומר $\|{\vec {v}}\|=1$ , אך נרמול הווקטור הכרחי עבור חישוב בעזרת הגרדיאנט.