פונקציית דלתא של דיראק

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף פונקציית דלתא)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
בתיאור גרפי של פונקציית דלתא, גובה אינסופי מסומן באמצעות חץ.

פונקציית הדלתא של דיראק (מכונה גם פונקציית הלם), המסומנת δ(x), היא פונקציה מוכללת שימושית בפיזיקה, בהנדסה ובהסתברות. למרות שמה, היא אינה פונקציה במובן המקובל. הגדרתה היא על פי תכונות של האינטגרל המסוים שלה: לכל A ו-B חיוביים מתקיים

ABδ(x)dx=ABδ(x)dx=0
ABδ(x)dx=1

התחום של פונקציית דלתא הוא קבוצת המספרים הממשיים. מהתכונה הראשונה ניתן להסיק שהערך של δ(x) הוא אפס לכל x פרט ל־x=0. כדי לקיים את התכונה השנייה, הערך ב־x=0 לא יכול להיות מספר סופי, ולכן הטווח שלה אינו מוכל בקבוצת המספרים הממשיים. אולם ערכי הפונקציה אינם מעניינים בפני עצמם, אלא האינטגרלים שלה.

פונקציית הדלתא של דיראק, שהיא הכללה של פונקציית הדלתא של קרונקר, נוסחה על ידי הפיזיקאי פול דיראק. ניתן להגדיר אותה במספר דרכים, למשל כגבול חלש של סדרה של פונקציות שהשטח מתחת לגרף של כל אחת מהן הוא 1, בעוד שהתחום בו הן אינן מתאפסות זהותית הוא קטע הולך וקטן סביב x=0.

מבוא פורמלי

ההגדרה השימושית

לרוב, פונקציית דלתא מוגדרת באמצעות התכונה הבאה

f(x)δ(x)dx=f(0)

לכל פונקציה רציפה f. אפשר לחשוב על פונקציית דלתא, מבחינה אינטואיטיבית, כפונקציה שמקבלת את הערך 0 בכל נקודה שאיננה אפס ואת "הערך אינסוף" (או ליתר דיוק ערך אינסופי כלשהו) בנקודת האפס, כך שהאינטגרל המוכלל של הפונקציה על הישר הממשי הוא 1. זו אינה פונקציה במובן המקובל, אבל ההצגה הזו מאפשרת להבין חלק מתכונות הפונקציה.

פונקציית דלתא של דיראק כגבול של התפלגויות נורמליות δa(x)=1aπex2/a2 כאשר a0.

באופן כללי יותר אפשר לרשום:

fC[,] : f(x)δ(xx0)dx=f(x0)

ניתן לראות את פונקציית דלתא כפונקציית צפיפות של התפלגות בדידה בעלת פונקציית הסתברות המקבלת 0 לפני ערך מסוים ו-1 אחריו, כלומר:

H(x)={0:x<01:x>0

לפונקציית הסתברות כזו קוראים פונקציית הביסייד (פונקציית מדרגה), והיא פונקציה קדומה של פונקציית דלתא. לכן באופן לא-פורמלי אפשר לתאר את פונקציית דלתא כ"נגזרת" של פונקציית הביסייד (למרות שלפונקציה זו יש נקודת אי-רציפות בה לא ניתן להגדיר נגזרת), כלומר:

dH(x)=δ(x) dx

אינטואיטיבית, סביב כל x שונה מ-0 פונקציית הביסייד היא קבועה, ולכן נגזרתה אפס, אך עבור x=0 יש בפונקציית הביסייד קפיצה עם "שיפוע" אינסופי ולכן נגזרת אינסופית בנקודה זו. תכונות אלה מתאימות לתיאור האינטואיטיבי של פונקציית דלתא.

אין פונקציה שמקיימת את התכונות האלו אך אפשר להגדיר את "פונקציית דלתא" באמצעות שימושים במושגים מתמטיים אחרים: פונקציונל או מידה של אינטגרל לבג.

הגדרות פורמליות לפונקציית דלתא

כפונקציונל, אפשר להגדיר את פונקציית דלתא באופן הבא:

 ϕ: : δ[ϕ]=ϕ(0)

זהו פונקציונל לגיטימי הפועל על מרחב הפונקציות הממשיות. פונקציונל זה אמנם חסום בנורמת הסופרמום אך הוא אינו חסום (ולכן גם לא רציף) במרחב הילברט L2. יתרה מכך, הוא אינו מוגדר היטב באותו מרחב, כיוון ששם שתי פונקציות נחשבות לשוות אם הן נבדלות לכל היותר על קבוצת נקודות בעלת מידה אפס, ולכן אין משמעות לערך הפונקציה בנקודה ספציפית. למרות זאת, מאחר שלפי משפט ההצגה של ריס אפשר לרשום כל פונקציונל ליניארי חסום כמכפלה פנימית (ובמרחב L2 כאינטגרל) רושמים גם את הפונקציונל הזה כאינטגרל. זהו רק סימון נוח ואין למעשה שום פונקציה שמקיימת את השוויון.

אפשר גם להתייחס לפונקציית דלתא כאל מידה באופן הבא:

  • δ(A)=1 אם 0A.
  • δ(A)=0 אחרת.

על ידי שימוש במידה זו, אפשר לרשום אינטגרל לבג ולקבל:

fC[,] : f(x)δ{dx}=f(0)

רישום זה מבלבל ועדיף עליו הסימון:

fC[,] : f(x)dH(x)=f(0)

כאשר H היא פונקציית הביסייד. את הרישום האחרון אפשר להצדיק במסגרת התורה של אנליזה פונקציונלית ואינטגרלים ספקטרליים.

את פונקציית דלתא אפשר לתאר גם כגבול של סדרת פונקציות. כל פונקציה בסדרה נהיית צרה יותר אך גבוהה יותר יחסית לקודמתה, והשטח שמתחת לגרף שלה נשאר קבוע - 1.

המחשה של ההתכנסות
המחשה של ההתכנסות

באופן פורמלי, סדרת פונקציות {δn(x)}n=1 תקרא "סדרת דלתא" אם limnδn(x)=δ(x), כלומר לפי ההגדרה של דלתא הגבול צריך לקיים limnδn(x)f(x)dx=f(0).[1][2]

דוגמאות לסדרות של פונקציות שמקיימות את הנדרש: פונקציית המלבן, גאוסיאן, לורנציאן.

למשל נסתכל בסדרה הבאה של פונקציות המלבן:

δn(x)={0:|x|>12nn:|x|<12n

זוהי סדרה של פונקציות שהגרפים שלהן הם מלבנים, או פונקציות מציינות על הקטע [1/(2n),+1/(2n)] המוכפלות ב-n, כמתואר בתרשים.

נראה שזוהי סדרת דלתא: כל מלבן הוא ברוחב 1/n ובגובה n ולכן השטח שלו שווה ל-1, מה שאומר שבהשאפה לאינסוף, אינטגרל המכפלה שלו עם כל פונקציה תחזיר את ערך הפונקציה בנקודה 0.

תכונות שימושיות

  • δ(t)=δ(t) (זוגיות)
  • δ(at)=1|a|δ(t) (שינוי קנה מידה)
  • x(t)δ(tt0)=x(t0)δ(tt0)
  • x(t)δ(tt0)dt=x(t0)
  • abx(t)δ(tt0)dt={x(t0),t0[a,b]0,t0[a,b]
  • {x(t)}*{δ(tt0)}=x(tt0) (קונבולוציה)
  • התמרת פורייה של הפונקציה היא הפונקציה הקבועה f(x)=1, ומכאן ההתמרה ההפוכה:
δ(x)=12π1eikxdk
  • δ'(x)f(x)=δ'(t)f(0)δ(t)f'(0)

הוכחת חלק מהתכונות

באמצעות החלפת משתנים באינטגרציה ותכונת הזוגיות אפשר להוכיח ש־δ(ax)=1|a|δ(x).

הוכחה: נניח ש-a חיובי (אם a שלילי, נשתמש בתכונת הזוגיות ונעבוד עם a כארגומנט הפונקציה). כעת,
f(x)δ(ax)dx=1|a|f(y/|a|)δ(y)dy=1|a|f(0) כאשר החלפת המשתנים היא y=ax. ‏

באופן כללי יותר מתקיים:

δ(g(x))=iδ(xxi)|g(xi)|

כלומר, תחת האינטגרל מתקיים:

f(x)δ(g(x))dx=if(xi)|g(xi)|

כאשר xi הם השורשים של g, כלומר: g(xi)=0.

הוכחה: מאחר שבכל קטע I בו g(x)0 האינטגרל If(x)δ(g(x))dx=0 אפשר להפריד את האינטגרל לסכום של אינטגרלים על קטעים קטנים כרצוננו סביב שורשי g, כלומר:
f(x)δ(g(x))dx=ixiεxi+εf(x)δ(g(x))dx
מאחר שהקטעים קטנים כרצוננו, אפשר בכל קטע לקרב את g על ידי קירוב ליניארי: g(x)=g(xi)(xxi). נציב זאת באינטגרל ונשתמש בתכונה δ(ax)=1|a|δ(x), יתקבל:
ixiεxi+εf(x)δ(g(x))dx=ixiεxi+εf(x)δ(g(xi)(xxi))dx=i1|g(xi)|xiεxi+εf(x)δ(xxi)dx=if(xi)|g(xi)|
כנדרש.

עבור פונקציית מבחן גזירה, אפשר לחשב את הנגזרת של פונקציית דלתא באמצעות אינטגרציה בחלקים ולקבל ש־δ[ϕ]=ϕ(0).

  • מכאן נובע: δ(x)=δ(x)x.
  • כמו כן: δ(n)[ϕ]=(1)nϕ(n)(0).

שימושים

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. Delta Sequence באתר wolfram
  2. Olver, F.W.J.; Lozier, D.W.; Boisvert, R.F.; Clark, C.W. (Eds.) NIST Handbook of Mathematical Functions; U.S. Department ofCommerce, National Institute of Standards and Technology: Washington, DC, USA; Cambridge University Press: Cambridge,UK, 2010; ch. 1.17, pp. 38: "Integral and Series Representations of the Dirac Delta"
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציית דלתא של דיראק41209020Q209675