רשימה של פונקציות קדומות

במתמטיקה, ובפרט בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, פונקציה קדומה של פונקציה כלשהי היא פונקציה שהנגזרת שלה היא פונקציה זו. על פי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, האינטגרל של פונקציה כלשהי הוא הפונקציה הקדומה שלה.

רשימה זו כוללת פונקציות קדומות של פונקציות שימושיות במתמטיקה. מאחר שכמות הפונקציות היא אינסופית, רשימה זו בהכרח לא תוכל להכיל את כל הפונקציות הקדומות באשר הן. אנו מזמינים משתמשים להוסיף פונקציות קדומות נוספות לרשימה זו על פי הצורך ועל פי שיקול דעת.

בכל הנוסחאות למטה $x$ ו- $t$ הם משתני האינטגרציה, $f$ ו- $g$ הן פונקציות ממשיות וכל שאר הפרמטרים הם מספרים ממשיים, אלא אם כן צוין אחרת.

נוסחאות אינטגרלים

$\int f^{'} (x) d x = f (x) + C$ (ראו המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי)
$\int α f^{'} (x) d x = α f (x) + C$
$\int f^{'} (α x) d x = \frac{f (α x)}{α} + C if α \neq 0$
$\int f^{'} (x) g (x) d x = f (x) g (x) - \int f (x) g^{'} (x) d x + C$ (ראו אינטגרציה בחלקים)
$\int f^{'} (x) g^{'} (f (x)) d x = g (f (x)) + C$ (ראו כלל השרשרת)

פונקציות רציונליות

(ראו פונקציה רציונלית)

$\int α d x = α x + C$
$\int x d x = \frac{x^{2}}{2} + C$
$\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C (if n \neq - 1)$
$\int (a x + b)^{n} d x = \frac{(a x + b)^{n + 1}}{a (n + 1)} + C (if n \neq - 1 and a \neq 0)$
$\int \frac{1}{x} d x = \ln x + C$ (ראו פונקציית הלוגריתם הטבעי)
$\int \frac{1}{a x + b} d x = \frac{\ln (a x + b)}{a} + C (if a \neq 0)$
$\int \frac{1}{x^{2} + a^{2}} d x = \frac{1}{a} \arctan (\frac{x}{a}) + C (if a \neq 0)$

פונקציות מעריכיות

(ראו פונקציה מעריכית)

$\int \exp (x) d x = \exp (x) + C$
$\int \exp (α x) d x = \frac{1}{α} \exp (α x) + C (if α \neq 0)$
$\int x \exp (x) d x = (x - 1) \exp (x) + C$
$\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C (if a > 0 and a \neq 1)$

פונקציות לוגריתמיות

(ראו לוגריתם)

$\int \ln x d x = x (\ln x - 1) + C$
$\int x \ln x d x = \frac{x^{2} \ln x}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$
$\int x^{n} \ln x d x = \frac{x^{n + 1} \ln x}{n + 1} + \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)^{2}} + C (if n \neq - 1)$
$\int \frac{\ln x}{x} d x = \frac{(\ln x)^{2}}{2} + C$
$\int \log_{a} x d x = x \log_{a} x - \frac{x}{\ln a} + C (if a > 0 and a \neq 1)$

פונקציות טריגונומטריות

(ראו פונקציות טריגונומטריות)

$\int \sin x d x = - \cos x + C$
$\int \cos x d x = \sin x + C$
$\int \tan x d x = - \ln (\cos x) + C$
$\int \cot x d x = \ln (\sin x) + C$
$\int \sec x d x = \ln (\sec x + \tan x) + C$
$\int \csc x d x = - \ln (\csc x + \cot x) + C$

פונקציות טריגונומטריות הפוכות

(ראו פונקציות טריגונומטריות הפוכות)

$\int \arcsin x d x = x \arcsin x + \sqrt{1 - x^{2}} + C$
$\int \arccos x d x = x \arccos x - \sqrt{1 - x^{2}} + C$
$\int \arctan x d x = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}) + C$
$\int arccot x d x = x arccot x + \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}) + C$
$\int arcsec x d x = x arcsec x - \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1}) + C$
$\int arccsc x d x = x arccsc x + \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1}) + C$

פונקציות היפרבוליות

(ראו פונקציות היפרבוליות)

$\int \sinh x d x = \cosh x + C$
$\int \cosh x d x = \sinh x + C$
$\int \tanh x d x = \ln (\cosh x) + C$
$\int \coth x d x = \ln (\sinh x) + C$
$\int sech x d x = \arctan (\sinh x) + C$
$\int csch x d x = \ln (\coth x - csch x) + C$

פונקציות היפרבוליות הפוכות

(ראו פונקציות היפרבוליות הפוכות)

$\int arcsinh x d x = x arcsinh x - \sqrt{1 + x^{2}} + C$
$\int arccosh x d x = x arccosh x - \sqrt{x^{2} - 1} + C$
$\int arctanh x d x = x arctanh x + \frac{1}{2} \ln (1 - x^{2}) + C$
$\int arccoth x d x = x arccoth x + \frac{1}{2} \ln (x^{2} - 1) + C$
$\int arcsech x d x = x arcsech x + \arcsin x + C$
$\int arccsch x d x = x arccsch x + arcsinh x + C$

פונקציות קדומות לא אלמנטריות

ישנן פונקציות אלמטריות שהפונקציה הקדומה שלהן איננה אלמנטרית. עבור פונקציות אלו, הפונקציה הקדומה מוגדרת באמצעות האינטגרל של הפונקציה האלמנטרית. הרשימה הבאה מכילה כמה פונקציות כאלו בעלות חשיבות רבה במתמטיקה:

פונקציית השגיאה: $\erf (x) : = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t$
פונקציית האינטגרל הסינוסי (אנג): $Si (x) : = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} d t$
פונקציית אינטגרל הקוסינוסי (אנג): $Ci (x) : = - \int_{x}^{\infty} \frac{\cos t}{t} d t$
פונקציית האינטגרל המעריכי (אנג): $E_{i} (x) : = \int_{- \infty}^{x} \frac{e^{t}}{t} d t$
פונקציית האינטגרל הלוגרתמי: $li : = \int_{0}^{x} \frac{1}{\ln t} d t$

הפונקציות הקדומות של פונקציות אלו הן:

$\int \erf (x) = \frac{e^{- x^{2}}}{\sqrt{π}} + x \erf (x) + C$
$\int Si (x) = x Si (x) + \cos x + C$
$\int Ci (x) = x Ci (x) - \sin x + C$
$\int Ei (x) = x Ei (x) - \exp (x) + C$
$\int li (x) = x li (x) - Ei (2 \ln x) + C$

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

רשימה של פונקציות קדומות41594285Q423189