טנגנס

קובץ:Tangent-plot.svg

גרף הפונקציה טנגנס

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

טנגנס (מסומן כ-tan או tg) היא פונקציה טריגונמטרית בסיסית.

הגדרות

הגדרה בסיסית

קובץ:Rtriangle.png

במשולש זה, טנגנס הזווית A שווה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{a}{b}}

בהגדרתה הבסיסית ביותר, פונקציית הטנגנס מציינת, כפונקציה של זווית, את היחס במשולש ישר-זווית בין הניצב שמול הזווית לניצב שלידה. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 ל-90 מעלות או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\pi}{2}} רדיאנים. משולשים עם זוויות זהות דומים ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הטנגנס של זווית מוגדר היטב.

כמו כן, נפוץ מאד השימוש בפונקציית הטנגנס כמנה של סינוס וקוסינוס בעלי אותה זווית. קל להגיע לזהות זו באמצעות הצבת היחסים שמייצגות פונקציות הסינוס והקוסינוס:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} \sin x = {a \over c} \\ \cos x = {b \over c} \\ \tan x = {\sin x \over \cos x} \end{cases} \Longleftrightarrow \ \tan x = {a/c \over b/c} = {a \over b} }

הרחבה

קובץ:Unitcircledefs.svg

תמונה זאת מדגימה את הדרך השנייה להגדיר טנגנס.

ניתן להרחיב את הטנגנס לכל זווית ממשית באמצעות מעגל היחידה, כאשר הרדיוס "מסתובב" נגד כיוון השעון כמספר הזווית (אם היא שלילית אז עם כיוון השעון). קיימות שתי דרכים לעשות זאת:

• טנגנס הזווית שווה ליחס בין שיעור ה-y של קצה הרדיוס (הסינוס של הזווית) לשיעור ה-x שלה (הקוסינוס של הזווית): הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}} .
• מעבירים למעגל משיק מהנקודה (1,0), וממשיכים את הרדיוס. שיעור ה-y של הנקודה בה הם נחתכים שווה לטנגנס הזווית.

פונקציה הטנגנס אינה מוגדרת עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x = \frac{\pi}{2} + \pi k} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k} מספר שלם, כיוון שבדרך הראשונה, הקוסינוס שווה ל-0 (ומתקבלת חלוקה באפס), ובדרך השנייה הרדיוס מקביל למשיק ולא חותך אותו.

טור טיילור

ניתן להגדיר את הפונקציה באמצעות טור טיילור: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ B_n} הוא מספר ברנולי ה-n.

הצגה מפורשת לתחילת הטור: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac{\pi}{2}}

קוטנגנס

בדומה לפונקציית הקוסינוס שמתקבלת מפונקציית הסינוס על ידי הזווית המשלימה לזווית ישרה, ניתן גם להגדיר את פונקציית הקוטנגנס: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot x = \tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} , אלא שפונקציה זאת שימושית הרבה פחות בגלל הזהות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\tan x}} , לפיה במקום השימוש בקוטנגנס אפשר פשוט להשתמש בהופכי של הטנגנס.

תכונות

• פונקציית הטנגנס היא אי-זוגית, משום שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan \ (-x) = -\tan \ (x)} .
• לפונקציה יש מחזור של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \pi} .
• הפונקציה מוגדרת לכל x, מלבד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x = \frac{\pi}{2} + \pi k} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k} מספר שלם. נקודות אלו הן גם אסימפטוטות אנכיות של הפונקציה.
• הפונקציה רציפה, גזירה ואינטגרבילית בכל נקודה שבה היא מוגדרת. הפונקציה עולה בכל קטע שבו היא מוגדרת, ואין לה נקודות קיצון.
• לפונקציה אינסוף שורשים מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x =\pi k} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k} מספר שלם.
• לפי כלל המנה, נגזרת הפונקציה היא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\operatorname{d}\! \over \operatorname{d}\! x} \tan x = {\operatorname{d}\! \over \operatorname{d}\! x} \left(\frac{\sin x}{\cos x} \right) = \frac{\sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x}{\cos ^2 x} = \frac{1}{\cos ^2 x} }
• הקדומה של הפונקציה היא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \tan x \,dx = - \ln |\cos x|+C}

זהויות

ערך מורחב – זהויות טריגונומטריות

• פונקציית הטנגנס מקיימת: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tan(-\theta) = -\tan\theta} וכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tan(\pi - \theta) = -\tan \theta}
• בעזרת פונקציית הטנגנס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים): הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin\theta = \frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}} } ‏, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} } ‏, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cot\theta = {1 \over \tan\theta} } ‏, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \csc\theta = {\sqrt{1 + \tan^2\theta} \over \tan \theta} } ‏, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec\theta = \sqrt{1 + \tan^2\theta} }
• סכום זוויות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan(\theta \pm \varphi) = \frac{\tan \theta \pm \tan \varphi}{1 \mp \tan \theta \tan \varphi}}
• זווית כפולה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\, } ‏, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}}
• חצי זווית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan \tfrac{\theta}{2} = \csc \theta - \cot \theta = \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}}
• ממוצע זוויות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tan\left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) = \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta} = -\,\frac{\cos\alpha - \cos\beta}{\sin\alpha - \sin\beta} }
• אם x, y, ו-z הן שלוש זוויות של משולש כלשהו, כלומר אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ = \pi = x + y + z } חצי מעגל (180°), אזי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tan(x) + \tan(y) + \tan(z) = \tan(x)\tan(y)\tan(z)}

הפונקציה ההפוכה

קובץ:Arctangent.svg

גרף פונקציית הארכטנגנס

הפונקציה ההפוכה לפונקציית הטנגנס נקראת ארקטנגנס ומסומנת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \arctan } או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \tan^{-1} } . הפונקציה מוגדרת ועולה לכל x, וכיוון שפונקציית הטנגנס אינה חד-חד-ערכית, ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})} . הנגזרת שלה היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {d \over dx} \arctan x = { 1 \over 1 + x^2}} .

משפט הטנגנסים

ערך מורחב – משפט הטנגנסים

משפט הטנגנסים הוא משפט המציין תכונה של צלעות וזוויות במשולש. אם שתיים מהצלעות הן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a, b} והזוויות שמולן הן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha, \beta} בהתאמה, אז מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]} } .

ראו גם

• סינוס
• קוסינוס
• טריגונומטריה

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא טנגנס בוויקישיתוף