פונקציה חד-חד-ערכית ועל

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף התאמה חד-חד ערכית)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציה חד-חד-ערכית ועל (נקראת גם בִּייקציָה; באנגלית: Bijection) היא פונקציה המקבלת את כל הערכים בטווח, וכל אחד מהם מתקבל פעם אחת בלבד.

באופן פורמלי: חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם לכל קיים יחיד כך ש . בתנאי זה, קיומו של מבטא את העובדה שהפונקציה היא פונקציה על, והיחידות שלו (כלומר העובדה שלא קיימים שונים שעבורם מבטאת את העובדה שהפונקציה חד-חד-ערכית.

דוגמאות

  • מכירת כרטיסי קולנוע יוצרת התאמה בין קהל הצופים לבין הכיסאות שבאולם הקולנוע. כאשר כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית ועל - לכל כיסא באולם הקולנוע מותאם צופה אחד ויחיד. כאשר לא כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית שאינה על - יש כיסאות פנויים באולם.
  • פונקציה המתאימה לכל מספר זוגי את החצי שלו (כלומר מתאימה ל-2 את 1, ל-4 את 2, ל-6 את 3 וכו') היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת המספרים הזוגיים לקבוצת המספרים הטבעיים.
גרף פונקציה בתחום
  • הפונקציה היא חד-חד-ערכית ועל בתחום , משום שכל ערך של y בקטע הממשי מתקבל בדיוק פעם אחת. הפונקציה איננה חד-חד-ערכית בתחום משום שכל ערך של y בקטע הממשי מתקבל פעמיים (הערך 4, למשל, הוא וגם ).
  • הפונקציה היא חד-חד-ערכית ועל בתחום , משום שכל ערך של y בקטע הממשי מתקבל בדיוק פעם אחת.

דיאגרמות להמחשה

תכונות ושימושים

  • אם קיימת פונקציה כזו, הקבוצות ו- נקראות "שקולות" והן בעלות אותה עוצמה.
  • פונקציה היא חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם היא הפיכה, ולכן יחס השקילות הזה בין קבוצות הוא יחס סימטרי.
  • אם על הקבוצות מוגדר מבנה נוסף (פעולות אלגבריות, טופולוגיה, מטריקה וכדומה), אז פונקציה חד-חד-ערכית ועל ביניהן השומרת על המבנה נקראת איזומורפיזם.
  • פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה אל עצמה נקראת תמורה.
  • אוסף התמורות על קבוצה הוא חבורת הסימטריות של הקבוצה; לדוגמה, הפונקציה המתאימה לכל מספר שלם את העוקב שלו, היא תמורה על המספרים השלמים. פונקציות חד-חד-ערכיות ועל הן מאבני הבניין של צפנים סימטריים מודרניים רבים בקריפטוגרפיה.

ראו גם

קישורים חיצוניים

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.
Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0