מסילה (מתמטיקה)
בטופולוגיה, מסילה היא פונקציה רציפה מקטע ממשי כלשהו (לרוב מתייחסים לקטע היחידה) למרחב טופולוגי. מסילות מאפשרות ללמוד את המבנה הפנימי של המרחב המדובר, למשל, על ידי חקירת מרכיבי קשירות מסילתית, או על ידי מבנים של מסילות, כדוגמת החבורה היסודית. מסילות מאפשרות גם לחקור שינוי רציף של מרחב אחד למשנהו, תחום שבו מטפלת תורת ההומוטופיות. בפיזיקה, אפשר לחשב פרמטרים של תנועה לאורך מסילה באמצעות אינטגרלים מסילתיים, שלהם תפקיד חשוב גם באנליזה מרוכבת.
שְמן מגיע מן העובדה, שניתן לחשוב על מסילות אל המרחב האוקלידי כמסלולי טיול רציפים במרחב; אל הנקודות בקטע המקור מתייחסים כמייצגות זמן והנקודות על תמונת המסילה מייצגות את המיקום במרחב בזמן הנתון. למשל, המסילה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma \colon [0,2\pi]\rightarrow X} , המוגדרת לפי ההתאמה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(t) = (\cos t, \sin t)} היא מסילה המייצגת טיול סביב מעגל היחידה במישור, כשבזמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} נמצאים בזווית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} רדיאנים ביחס לציר ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} .
סוג מיוחד של מסילה מכונה לולאה או מסילה סגורה, והיא מוגדרת כמסילה שמקבלת את אותם ערכים על קצוות הקטע. כך המסילה שבדוגמה הקודמת היא לולאה, שכן הפונקציות הטריגונומטריות הן פונקציות מחזוריות בעלות מחזור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\pi} . באופן שקול, ניתן לחשוב על לולאה כעל פונקציה רציפה מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma \colon S^1 \to X} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^1} הוא מעגל היחידה. מסילה שאינה "מבקרת" פעמיים באותה נקודה (פרט אולי לנקודות הקצה), כלומר היא אינה חותכת עצמה, כלומר היא חד חד ערכית, נקראת מסילה פשוטה. ללולאות פשוטות יש תכונה בסיסית המתוארת במשפט העקום של ז'ורדן, לפיה הן מחלקות את המישור לשני רכיבי קשירות: פנימי וחיצוני. אף על פי שקביעה זו אינטואיטיבית למדי, ההוכחה לה אינה פשוטה כל כך.
מסילה, שתחומה הוא מרחב נורמי נקראת מסילה דיפרנציאבילית, אם היא גזירה ברציפות בכל הקטע; מסילה דיפרנציאבילית למקוטעין היא מסילה שגזירה ברציפות בכל הקטע, למעט מספר סופי של נקודות.
באנליזה מרוכבת, יש חשיבות למספר הפעמים שמסילה נתונה במישור המרוכב מקיפה נקודה שאיננה על המסילה. מספר זה נקרא האינדקס של המסילה ביחס לנקודה, והוא מוגדר על-פי הנוסחה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n(\gamma,a)=\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{1}{z-a}\, \mathrm{d}z} , המחזירה מספר שלם עבור כל מסילה דיפרנציאבילית וסגורה. אם המסילה נעה נגד כיוון השעון, האינדקס יהיה חיובי, בעוד שהאינדקס של המסילה ההפוכה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t\mapsto \gamma(1-t)} , יהיה שלילי.
שרשור מסילות הוא יצירת מסילה חדשה משתי מסילות קיימות. למשל, אם קיימות שתי מסילות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \colon [0,1] \rightarrow X, \beta \colon [0,1] \rightarrow X} , כאשר ראש המסילה השנייה (נקודת הקצה) מתלכד עם זנבה של הראשונה (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta(0)=\alpha(1)} ), שרשור המסילות יהיה מסילה חדשה - שתחומה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0,2]} , המעניקה את הערכים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha(x)} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} בין 0 ל-1, ואת הערכים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta(x-1)} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} בין 1 ל-2.
אורכה של מסילה
האורך של מסילה במרחב מטרי הוא המספר הקטן ביותר הגדול מסכום המרחקים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |P_1P_2|+\dots+|P_{n-1}P_n|} לכל סדרה סופית של נקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P_1,\dots,P_n} המונחות בסדר זה על המסילה. הגדרה זו, הגם שהיא מובלעת בחישובי שטחים ונפחים מאז אוקלידס, לא הופיעה בצורתה זו במפורש, אלא בתקופתם של ניוטון ולייבניץ, מייסדי החשבון האינפיניטסימלי.
ראו גם
מסילה (מתמטיקה)29127214Q1366002