קבוע אומגה

קבוע אומגה הוא קבוע מתמטי המסומן באות היוונית אומגה, המקיים:

$\mathrm{\Omega }{e}^{\mathrm{\Omega }}=1$

ערכו של הקבוע הוא בקירוב

$\mathrm{\Omega }=0.5671432904097838729999686622\dots$

הוא מקיים את המשוואות

$e^{-\mathrm{\Omega }}=\mathrm{\Omega },\ln (\mathrm{\Omega })=-\mathrm{\Omega }$

קבוע זה הוא הפתרון היחידי של $(1)W$ כאשר $W$ היא פונקציית W של למברט. שמו לקוח משמה הנוסף של פונקציה זו, פונקציית אומגה.

ניתן לבנות את קבוע אומגה בצורה איטרטיבית על ידי סדרת קירובים המתחילה ב-${\mathrm{\Omega }}_0$ כלשהו ומקיימת

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=e^{-{\mathrm{\Omega }}_n}$

הסדרה מתכנסת לקבוע אומגה כאשר $n$ שואף לאינסוף. הגבול מתקיים כיוון שקבוע אומגה הוא נקודת שבת יציבה של הפונקציה $e^{-x}$ .

בנייה אפקטיבית יותר היא

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=\frac{1+{\mathrm{\Omega }}_n}{1+e^{{\mathrm{\Omega }}_n}}$

כיוון שלפונקציה

$f(x)=\frac{1+x}{1+e^x}$

יש אותה נקודת שבת אבל בנקודה זאת הנגזרת שווה ל-0, ולכן הסדרה שואפת לגבול הרבה יותר מהר (מספר הספרות הנכונות בערך מוכפל בכל איטרציה).

קבוע אומגה מקיים את הזהות:

$\mathrm{\Omega }=\frac{1}{\begin{array}{r}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{(e^x-x{)}^2+{\pi }^2}\end{array}}-1$

תכונות

קבוע אומגה הוא מספר אי-רציונלי.

הוכחה: נניח בשלילה שהוא רציונלי, ואז קיימים $p,q$ שלמים עבורם

$\frac{p}{q}=\mathrm{\Omega }$

ואז

$\begin{array}{r}1=\frac{p{e}^{\left(\frac{p}{q}\right)}}{q}\\ e={\left(\frac{q}{p}\right)}^{\left(\frac{q}{p}\right)}=\sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}}\end{array}$

אבל e הוא מספר טרנסצנדנטי, ואילו הביטוי שאליו הגענו הוא שורש של פולינום בעל מקדמים רציונלים (ממעלה $q$) כלומר אלגברי. סתירה.

קבוע אומגה הוא גם טרנסצנדטי, כיוון שאילו היה אלגברי אזי לפי משפט לינדמן-ויירשטראס $\exp (\mathrm{\Omega })$ יהיה טרנסצנדטי וכך גם ${\exp }^{-1}(\mathrm{\Omega })=-\mathrm{\Omega }$ , וזאת סתירה להנחה שקבוע אומגה אלגברי.

קישורים חיצוניים

• קבוע אומגה, באתר MathWorld (באנגלית)