חפיפת מטריצות

חפיפה היא יחס שקילות שמוגדר עבור מטריצות באופן הבא:

תהיינה $\ A,B\in \ \mathbb {F} ^{n\times n}$ מטריצות חופפות אם קיימת מטריצה הפיכה $\ P\in \ \mathbb {F} ^{n\times n}$,

כך ש: $\ B=P^{*}AP$, כאשר $\ P^{*}={\overline {P^{T}}}$ הוא הצמוד ההרמיטי של P.

ניתן להראות כי כל שתי מטריצות המייצגות את אותה תבנית בילינארית בבסיסים שונים הן חופפות.

מכך נובע גם כי מטריצה $\ A\in \ \mathbb {F} ^{n\times n}$ מייצגת מכפלה פנימית אם ורק אם היא חופפת למטריצת היחידה $I$.

הוכחה:
נניח כי $\ A$ חופפת ל-$\ I$. מכאן נובע שקיימת מטריצה הפיכה $\ P$ כך ש-$\ A=P^{*}IP=P^{*}P$. לכן $\ A^{*}=(P^{*}P)^{*}=P^{*}P=A$.

כלומר $\ A$ הרמיטית. נותר להוכיח כי $\ A$ מטריצה חיובית. יהא $\ {\underline {b}}\in \ \mathbb {F} ^{n}$. אזי ${\underline {b}}^{*}A{\underline {b}}={\underline {b}}^{*}P^{*}P{\underline {b}}=(P{\underline {b}})^{*}(P{\underline {b}})$.

הביטוי האחרון שקיבלנו הוא המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-$\mathbb {C} ^{n}$, לכן ${\underline {b}}^{*}A{\underline {b}}=\langle P{\underline {b}},P{\underline {b}}\rangle =\|P{\underline {b}}\|^{2}\geq 0$.

שוויון מתקבל אמ"מ $\ P{\underline {b}}={\underline {0}}$, וכיוון ש-$\ P$ הפיכה, אזי השוויון יתקבל אמ"מ $\ {\underline {b}}={\underline {0}}$. כלומר $\ A$ מוגדרת חיובית.

נניח כי A מייצגת מכפלה פנימית. אזי A הרמיטית ומוגדרת חיובית.

תהי P מטריצת מעבר מהבסיס הסטנדרטי לבסיס אורתונורמלי במובן הבא ${\underline {v}}_{i}^{*}A{\underline {v}}_{j}=\delta _{ij}$ (הדלתא של קרונקר).

אזי $\ P^{*}AP=I$ שכן $\delta _{ij}={\underline {v}}_{i}^{*}A{\underline {v}}_{j}={\underline {e}}_{i}^{*}P^{*}APe_{j}=(P^{*}AP)_{ij}$. מ.ש.ל.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.