חפיפת מטריצות

חפיפה היא יחס שקילות שמוגדר עבור מטריצות באופן הבא:

תהיינה $A,B\in \ \mathbb {F} ^{n\times n}$ מטריצות חופפות אם קיימת מטריצה הפיכה $P\in \ \mathbb {F} ^{n\times n}$,

כך ש: $B=P^{*}AP$, כאשר $P^{*}={P^{T}}$ הוא הצמוד ההרמיטי של $P$.

ניתן להראות כי כל שתי מטריצות המייצגות את אותה תבנית ביליניארית בבסיסים שונים הן חופפות.

מכך נובע גם כי מטריצה $A\in \ \mathbb {F} ^{n\times n}$ מייצגת מכפלה פנימית אם ורק אם היא חופפת למטריצת היחידה $I$.

הוכחה:
נניח כי $A$ חופפת ל-$I$. מכאן נובע שקיימת מטריצה הפיכה $P$ כך ש-$A=P^{*}IP=P^{*}P$. לכן $A^{*}=(P^{*}P)^{*}=P^{*}P=A$.

כלומר $A$ הרמיטית. נותר להוכיח כי $A$ מטריצה חיובית. יהא ${\underline {b}}\in \ \mathbb {F} ^{n}$. אזי ${\underline {b}}^{*}A{\underline {b}}={\underline {b}}^{*}P^{*}P{\underline {b}}=(P{\underline {b}})^{*}(P{\underline {b}})$.

הביטוי האחרון שקיבלנו הוא המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-$\mathbb {C} ^{n}$, לכן ${\underline {b}}^{*}A{\underline {b}}=\langle P{\underline {b}},P{\underline {b}}\rangle =\|P{\underline {b}}\|^{2}\geq 0$.

שוויון מתקבל אם ורק אם $P{\underline {b}}={\underline {0}}$, וכיוון ש-$P$ הפיכה, אזי השוויון יתקבל אם ורק אם ${\underline {b}}={\underline {0}}$. כלומר $A$ חיובית לחלוטין.

נניח כי $A$ מייצגת מכפלה פנימית. אזי $A$ הרמיטית וחיובית לחלוטין.

תהי $P$ מטריצת מעבר מהבסיס הסטנדרטי לבסיס אורתונורמלי במובן הבא ${\underline {v}}_{i}^{*}A{\underline {v}}_{j}=\delta _{ij}$ (הדלתא של קרונקר).

אזי $\ P^{*}AP=I$ שכן $\delta _{ij}={\underline {v}}_{i}^{*}A{\underline {v}}_{j}={\underline {e}}_{i}^{*}P^{*}APe_{j}=(P^{*}AP)_{ij}$. מ.ש.ל.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0