חפיפת מטריצות
חפיפה היא יחס שקילות שמוגדר עבור מטריצות באופן הבא:
תהיינה מטריצות חופפות אם קיימת מטריצה הפיכה ,
כך ש: , כאשר הוא הצמוד ההרמיטי של .
ניתן להראות כי כל שתי מטריצות המייצגות את אותה תבנית ביליניארית בבסיסים שונים הן חופפות.
מכך נובע גם כי מטריצה מייצגת מכפלה פנימית אם ורק אם היא חופפת למטריצת היחידה .
הוכחה:
נניח כי חופפת ל-. מכאן נובע שקיימת מטריצה הפיכה כך ש-. לכן .
כלומר הרמיטית. נותר להוכיח כי מטריצה חיובית. יהא . אזי .
הביטוי האחרון שקיבלנו הוא המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-, לכן .
שוויון מתקבל אם ורק אם , וכיוון ש- הפיכה, אזי השוויון יתקבל אם ורק אם . כלומר חיובית לחלוטין.
נניח כי מייצגת מכפלה פנימית. אזי הרמיטית וחיובית לחלוטין.
תהי מטריצת מעבר מהבסיס הסטנדרטי לבסיס אורתונורמלי במובן הבא (הדלתא של קרונקר).
אזי שכן . מ.ש.ל.