משוואה ממעלה שביעית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
קובץ:Septic graph.svg
גרף של פולינום ממעלה שביעית, עם שבעה שורשים ממשיים (חוצים את ציר x) ושש נקודות קריטיות. בהתאם למספר ולמיקום האנכי של המינימום והמקסימום, לפונקציה יכולים להיות שבעה, חמישה, שלושה או שורש ממשי אחד; מספר השורשים המרוכבים הלא ממשיים של הפונקציה הוא 7 פחות מספר השורשים האמיתיים.

באלגברה, משוואה ממעלה שביעית היא משוואה מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+gx+h=0} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\neq0} . במילים אחרות, זהו פולינום ממעלה שביעית. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=0} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} היא פונקציה ממעלה שישית (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b\neq0} ), פונקציה ממעלה חמישית (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=0, c\neq0} ) וכו'.

פונקציה ממעלה שביעית היא פונקציה מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+gx+h\,} .

ניתן לקבל את המשוואה מהפונקציה על ידי הגדרת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=0} .

המקדמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a, b, c, d, e, f, g} יכולים להיות מספרים שלמים, רציונליים, ממשיים, מרוכבים או, באופן כללי יותר, איברים של כל שדה.

מכיוון שהן בעלות מעלה אי-זוגית, פונקציות ממעלה שביעית נראות דומות לפונקציות ממעלה חמישית או ממעלה שלישית כשהן מוצגות בגרף, אלא שהן עשויות להיות בעלות נקודות מקסימום ומינימום מקומיים רבות יותר (עד שלוש נקודות מקסימום ושלוש נקודות מינימום). הנגזרת של פונקציה ממעלה שביעית היא פונקציה ממעלה שישית.

פתרון

ניתן לפתור כמה משוואות מדרגה שביעית על ידי פתרון באמצעות רדיקלים, אבל את שאר המשוואות הללו לא ניתן לפתור. אווריסט גלואה פיתח טכניקות לקביעה ניתן לפתור על ידי רדיקלים משוואה נתונה, מה שהוליד את השדה של תורת גלואה. כדי לתת דוגמה לספיגה בלתי ניתנת להפחתה אך ניתנת לפתרון, אפשר להכליל את המשוואה ממעלה חמישית של דה מואבר, הניתנת לפתרון, כדי לקבל

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^7+7\alpha x^5+14\alpha^2x^3+7\alpha^3x+\beta = 0\,} ,

כשמשוואת העזר היא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y^2+\beta y-\alpha^7 = 0\,} .

מתקבלת על ידי ביטול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=u+v} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle uv+\alpha=0} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u^7+v^7+\beta=0} .

מכאן נובע ששבעת השורשים של המשוואה ניתנים על ידי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_k = \omega_k\sqrt[7]{y_1} + \omega_k^6\sqrt[7]{y_2}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_k} הוא כל אחד משבעת שורשי היחידה. חבורת גלואה של משוואה שביעית זו היא הקבוצה הניתנת לפתרון מקסימלי מסדר 42. זה מוכלל בקלות לכל דרגות אחרות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} , לא בהכרח ראשוני.

משפחה פתירה נוספת היא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^7-2x^6+(\alpha+1)x^5+(\alpha-1)x^4-\alpha x^3-(\alpha+5)x^2-6x-4 = 0\,}

שחברותיה מופיעים במסד הנתונים של שדות המספרים של קלונר. הדיסקרימיננטה שלה היא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta = -4^4\left(4\alpha^3+99\alpha^2-34\alpha+467\right)^3\,}

חבורת הגלואה של המשוואות הללו היא החבורה הדיהדרלית מסדר 14.

ניתן לפתור את המשוואה הכללית עם חבורות גלואה של התמורות הזוגיות או חבורות גלואה סימטריות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_7} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_7} .[1] משוואות כאלה דורשות פונקציות היפראליפטיות ופונקציות תטא קשורות מגנוס 3 לפתרון שלהן. עם זאת, משוואות אלו לא נחקרו במיוחד על ידי מתמטיקאים בני המאה ה-19 שחקרו את הפתרונות של משוואות אלגבריות, מכיוון שפתרונות של משוואות ממעלה שישית כבר היו בגבולות היכולות החישוביות שלהן ללא מחשבים.

משוואות ממעלה שביעית הן משוואות מהסדר הנמוך ביותר שעבורן לא מובן מאליו שניתן להשיג את הפתרונות שלהן על ידי הרכבת פונקציות רציפות של שני משתנים. הבעיה השלוש-עשרה של הילברט הייתה ההשערה שבמקרה הכללי של משוואות ממעלה שביעית, לא ניתן להציג פונקציה רציפה בשלושה משתנים כהרכבה של פונקציות רציפות בשני משתנים. ולדימיר ארנולד הרוסי פתר את הבעיה ב-1957, והוכיח שדבר כזה תמיד אפשרי.[2]

חבורות גלואה

קובץ:Fano plane.svg
מישור פאנו

ריבועי שטחים של מצולעים

ריבוע השטח של מחומש הוא שורש של משוואה ממעלה שביעית שהמקדמים שלה הם פונקציות סימטריות של צלעות המחומש.[3] הדבר נכון גם לגבי ריבוע השטח של משושה.[4]

הערות שוליים

  1. ^ 1.0 1.1 R. Bruce King (16 בינואר 2009), Beyond the Quartic Equation, Birkhaüser, p. 143 and 144, ISBN 9780817648497 {{citation}}: (עזרה)
  2. ↑ Vasco Brattka (13 בספטמבר 2007), "Kolmogorov's Superposition Theorem", Kolmogorov's heritage in mathematics, Springer, ISBN 9783540363514 {{citation}}: (עזרה)
  3. ↑ Weisstein, Eric W. "Cyclic Pentagon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  4. ↑ Weisstein, Eric W. "Cyclic Hexagon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
פולינום
משוואות פולינומיות לפי מעלה משוואה ליניארית (1) • משוואה ממעלה שנייה (2) • משוואה ממעלה שלישית (3) • משוואה ממעלה רביעית (4) • משוואה ממעלה חמישית (5) • משוואה ממעלה שישית (6) • משוואה ממעלה שביעית (7)
פונקציות פולינומיות לפי מעלה פונקציה ממעלה שלישית
אישים הקשורים במציאת פתרונות או הוכחת אי פתירות לודוביקו פרארי • מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי • אברהם בר חייא • שיפיונה דל פרו • ניקולו טרטליה • ג'ירולמו קרדאנו • נילס הנריק אבל • אווריסט גלואה • פאולו רופיני • פליקס קליין • ולדימיר ארנולד
כללי היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות • משפט אבל-רופיני • תורת גלואה • הבעיה השלוש-עשרה של הילברט • פתרון באמצעות רדיקלים • רדיקל ברינג • i (מספר)
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משוואה ממעלה שביעית34390641Q13688

אוחזר מתוך "https://www.hamichlol.org.il/w/index.php?title=משוואה_ממעלה_שביעית&oldid=3269215"