גרדיאנט

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

המחשה של גרדיאנט. באיורים האלה, השדה הסקלרי מתואר באמצעות שינוי הצבע, כאשר אזורים כהים יותר הם ערכים גדולים יותר של הפונקציה. החצים הכחולים מתארים את הגרדיאנט הנגזר מהשדה הסקלרי. החצים פונים אל עבר האזורים הגבוהים יותר

גרדיאנט הוא הכללה של מושג הנגזרת בעבור חשבון אינפיניטסימלי של מספר משתנים. זהו אופרטור וקטורי המופעל על שדה סקלרי. הגרדיאנט של שדה סקלרי הוא שדה וקטורי המשייך לכל נקודה במרחב וקטור.

כיוון וקטור הגרדיאנט מצביע אל הכיוון בו השינוי בשדה הסקלרי מקסימלי (חיובי) וגודלו כשיעור השינוי המקסימלי.

אינטואיציה

נתבונן למשל באזור הררי. הגובה של כל נקודה יתואר על ידי פונקציה (שדה סקלרי). בכל נקודה ניתן להסתכל על הכיוון בו השיפוע לפונקציה זו הוא הגדול ביותר (זהו הכיוון בו הגובה משתנה בצורה החזקה ביותר. אם נשחרר כדור בנקודה זו הכדור יתגלגל בדיוק לכיוון ההפוך). באופן זה ניתן להתאים לכל נקודה וקטור שכיוונו הוא כיוון השיפוע הגדול ביותר וגודלו נקבע על פי גודל שיפוע זה. וקטור זה הוא הגרדיאנט.

סימון

אם $f$ פונקציה סקלרית והגרדיאנט שלה הוא פונקציה וקטורית $\overrightarrow{F}$ , נסמן:

$$\overrightarrow{F}=\text{grad}(f)=\mathrm{\nabla }f=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f$$

כאשר $\mathrm{\nabla }$ מסמל את אופרטור הגזירה דֶל (סמל המשולש עצמו נקרא בשם "נבלה") המוגדר כווקטור של נגזרות חלקיות, כלומר:

$\mathrm{\nabla }\equiv \hat{x}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial }{\partial z}\equiv ({\partial }_x,{\partial }_y,{\partial }_z)$

מתוך ההגדרה נובע שהגרדיאנט הוא וקטור מכיוון שמכפלת וקטור (אופרטור הגזירה דֶל) בסקלר (הפונקציה הסקלרית) מחזירה וקטור (הגרדיאנט)

הגדרה פורמלית במרחב האוקלידי התלת־ממדי

במרחב אוקלידי תלת־ממדי, הגרדיאנט של שדה סקלרי כלשהו המתואר על ידי מערכת צירים קרטזית $\psi (x,y,z)$ מוגדר כך:

$\mathrm{\nabla }\psi (x,y,z)\equiv \frac{\partial \psi (x,y,z)}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial \psi (x,y,z)}{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial \psi (x,y,z)}{\partial z}\hat{z}$

כאשר $\{\hat{x},\hat{y},\hat{z}\}$ הם וקטורי היחידה המקבילים לצירים.

באופן כללי, עבור $f$ פונקציה סקלרית כלשהי מעל מרחב וקטורי בעל $n$ ממדים, ניתן להגדיר את הגרדיאנט כך:

$\text{grad}f(a)\equiv (\frac{\partial f}{\partial x_1}(a),\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}(a))$

למה הגרדיאנט נותן את הכיוון בו השינוי הוא מקסימלי?

נסתכל על ההגדרה של נגזרת כיוונית, ונשאל מהו הווקטור שבו המכפלה הסקלרית עם וקטור הגרדיאנט תהיה מקסימלית? מהגדרת המכפלה הסקלרית, ברור שהמקסימום יתקבל כאשר הזווית בין הווקטורים תהיה 0 (קוסינוס מקבל ערך מקסימלי ב־0), ומכאן נובע שהווקטור שבו המכפלה הסקלרית תהיה מקסימלית היא וקטור הגרדיאנט עצמו.

דוגמה

הפוטנציאל הוא שדה סקלרי $U(\overrightarrow{r})$ , והכח הפועל על חלקיק הנמצא בהשראת אנרגיה פוטנציאלית הוא הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית $\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=-\mathrm{\nabla }U(\overrightarrow{r})$ . לכן, הכח שיפעל על הגוף ימשוך אותו לכיוון בו הפוטנציאל יקטן הכי הרבה.

דוגמה נוספת (חישובית):

יהי $f(\overrightarrow{r})=|\overrightarrow{r}|=r$ שדה סקלרי (הגזיר בכל מקום פרט ל־$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$). אזי הגרדיאנט שלו (בקואורדינטות קרטזיות) הוא

$\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial r}{\partial x}{\hat{e}}_x+\frac{\partial r}{\partial y}{\hat{e}}_y+\frac{\partial r}{\partial z}{\hat{e}}_z=\frac{x{\hat{e}}_x+y{\hat{e}}_y+z{\hat{e}}_z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{\overrightarrow{r}}{r}=\hat{r}$

שכן $\frac{\partial }{\partial x}r=\frac{\partial }{\partial x}\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ .

כדאי לשים לב שהחישוב הוא מיידי בקואורדינטות כדוריות, שם הגרדיאנט נתון על ידי הנוסחה

$\begin{array}{r}\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial r}\hat{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }\hat{\theta }+\frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial f}{\partial \varphi }\hat{\varphi }\\ \frac{\partial r}{\partial \theta }=0=\frac{\partial r}{\partial \varphi }\\ \mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial r}\hat{r}=\frac{\partial r}{\partial r}\hat{r}=\hat{r}\end{array}$

כצפוי, בשתי הדרכים קיבלנו תוצאה זהה.

גרדיאנט באנליזה על יריעות

את הגרדיאנט יותר טבעי להגדיר דווקא כפונקציונל הנקרא "דיפרנציאל":

$df=\sum _{\mu }\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}d{x}^{\mu }$

פונקציונל זה מקבל וקטור $v$ ומחזיר את הסקלר

$(df)(\overrightarrow{v})=⟨df,\overrightarrow{v}⟩=\sum _{\mu }{v}^{\mu }\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}$

האות $\mu$ הכתובה בכתיב עילי מייצגת אינדקס רץ המייצג קואורדינטה של וקטור ולא חזקה.

במרחב עם מטריקה, אפשר להגדיר את הגרדיאנט כווקטור על ידי "העלאת אינדקסים", כלומר על ידי התאמת וקטור $\mathrm{\nabla }f$ ל־$df$

$df(\overrightarrow{v})=g(\overrightarrow{v},\mathrm{\nabla }f)$

כאשר $g$ היא המטריקה: תבנית בילינארית סימטרית וחיובית בהחלט.

בקואורדינטות אפשר לכתוב את וקטור הגרדיאנט כך:

$\mathrm{\nabla }f=\sum _{\mu ,\nu }{g}^{\mu \nu }(df{)}_{\nu }{\partial }_{\mu }=\sum _{\mu }\left(\sum _{\nu }{g}^{\mu \nu }\frac{\partial f}{\partial x^{\nu }}\right){\partial }_{\mu }$

כאשר $g^{\mu \nu }$ האבר בשורה ה־$\mu$ והעמודה ה־$\nu$ של המטריקה ההפכית (כלומר: המטריצה ההפכית למטריקה, $g^{-1}$), ${\partial }_{\mu }=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial x^{\mu }}$ הווקטורים המשיקים הפורשים את המרחב המשיק בנקודה.

גרדיאנט במערכת קואורדינטות אורתוגונליות כלשהי

נניח מערכת קואורדינטות אורתוגונלית $(q_1,q_2,q_3)$ . כלומר, וקטורי היחידה המתאימים מקיימים

${\hat{e}}_i\cdot {\hat{e}}_j={\delta }_{ij}$

כאשר ${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& :i=j\\ 0& :i\ne j\end{array}$ הדלתא של קרונקר.

הווקטורים המשיקים הם $\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_i}=h_i{\hat{e}}_i$ .

נרשום צורה כללית לגרדיאנט של פונקציה סקלרית כלשהי $f$ :

$\mathrm{\nabla }f=\sum _{i=1}^3{f}_i{\hat{e}}_i$

ונמצא את המקדמים $f_1,f_2,f_3$ .

לשם כך נחשב את הדיפרנציאל של $f$ :

$df=\sum _{i=1}^3\frac{\partial f}{\partial q_i}d{q}_i$

מתקיים כי $df=\mathrm{\nabla }f\cdot d\overrightarrow{r}$ אבל

$d\overrightarrow{r}=\sum _{i=1}^3\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_i}d{q}_i=\sum _{i=1}^3{h}_i{\hat{e}}_{i}d{q}_i$

ולכן, כיוון שווקטורי היחידה המשיקים הם אורתוגונליים ${\widehat{\mathbf{𝐞}}}_i\cdot {\widehat{\mathbf{𝐞}}}_j={\delta }_{ij}$ מתקיים

$\sum _{i=1}^3\frac{\partial f}{\partial q_i}d{q}_i=df=\mathrm{\nabla }f\cdot d\overrightarrow{r}=\sum _{i=1}^3{f}_i{h}_{i}d{q}_i$

$d{q}_1,d{q}_2,d{q}_3$ בלתי־תלויים, לכן נשווה מקדמים אבר אבר ונקבל

$\begin{array}{r}{f}_i=\frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial q_i}\\ \mathrm{\nabla }f=\sum _{i=1}^3\frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial q_i}{\hat{e}}_i=\frac{1}{h_1}\frac{\partial f}{\partial q^1}{\hat{e}}_1+\frac{1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial q^2}{\hat{e}}_2+\frac{1}{h_3}\frac{\partial f}{\partial q^3}{\hat{e}}_3\end{array}$

הערה: ההכללה לממד כלשהו n מיידית. עובדים עם הצגת הסכומים כ-$\mathrm{\Sigma }$ ונותנים לכל אינדקס לרוץ מ-1 עד n.

הוכחה המבוססת על גאומטריה דיפרנציאלית

נניח מערכת קואורדינטות אורתוגונלית $(q^1,q^2,q^3)$ .

הווקטורים המשיקים הם: ${\partial }_{q^i}=\frac{\partial \mathbf{𝐫}}{\partial q^i}=h_i{\widehat{\mathbf{𝐞}}}_i$ כאשר ${\widehat{\mathbf{𝐞}}}_i$ הם וקטורים משיקים מנורמלים ו-$h_i$ הם ה-scale factors.

הטנזור המטרי במקרה של קואורדינטות אורתוגונליות

$g=\text{diag}(h_1^2,h_2^2,h_3^2)$

הוא מטריצה אלכסונית, ונזכור ש-

$d{q}^i=\sum _j{g}^{ij}{\partial }_{q^j}$

כאשר $g^{ij}=g^{-1}=\text{diag}(1/h_1^2,1/h_2^2,1/h_3^2)$ היא המטריצה ההופכית ל-g.

נציב בהגדרת הגרדיאנט,

$\mathrm{\nabla }f=\sum _i\frac{\partial f}{\partial q^i}d{q}^i=\sum _{ij}{g}^{ij}\frac{\partial f}{\partial q^i}{\partial }_{q^j}=\sum _{ij}\frac{1}{h_i^2}{\delta }^{ij}\frac{\partial f}{\partial q^i}{\partial }_{q^j}=\sum _i\frac{1}{h_i^2}\frac{\partial f}{\partial q^i}{h}_i{\widehat{\mathbf{𝐞}}}_i$

(המעבר השלישי נעשה כי $g^{ij}$ מטריצה אלכסונית, $g^{ij}=(1/h_i^2){\delta }^{ij}$ כאשר ${\delta }^{ij}$ היא הדלתא של קרונקר)
ובסך הכל נקבל

$\mathrm{\nabla }f=\frac{1}{h_1}\frac{\partial f}{\partial q^1}{\widehat{\mathbf{𝐞}}}_1+\frac{1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial q^2}{\widehat{\mathbf{𝐞}}}_2+\frac{1}{h_3}\frac{\partial f}{\partial q^3}{\widehat{\mathbf{𝐞}}}_3$

קשרים בין אופרטורים

• • דיברגנץ, גרדיאנט ולפלסיאן: $\mathrm{div}\mathrm{grad}=\mathrm{\Delta }$

משפט הגרדיאנט

משפט הגרדיאנט אומר שאם $f(\mathbf{𝐫})=f(x,y,z)$ היא שדה סקלרי (פונקציה $f:{\mathbb{ℝ}}^3\to \mathbb{ℝ}$ ) חלק מספיק (גזיר ברציפות), אזי לכל מסילה שמתחילה בנקודה כלשהי A ומסתיימת בנקודה כלשהי B האינטגרל הקווי על $\mathrm{\nabla }f$ לאורך המסילה לא תלוי במסילה עצמה אלא רק בנקודות הקצה ומתקיים

$\underset{\mathbf{𝐀}}{\overset{\mathbf{𝐁}}{\int }}\mathrm{\nabla }f\cdot d\mathbf{𝐫}=f(\mathbf{𝐁})-f(\mathbf{𝐀})$

לשדה הווקטורי $\mathrm{\nabla }f$ קוראים "שדה וקטורי משמר" או בהקשר של פיזיקה "כוח משמר" ומתקיים

$\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }f=0$

ראו גם

• פונקציונל
• טנזור
• קואורדינטות
• דיברגנץ

לקריאה נוספת

• מורי ר. שפיגל, אנליזה וקטורית, סדרת שאום