חפיפת מטריצות

חפיפה היא יחס שקילות שמוגדר עבור מטריצות באופן הבא:

תהיינה $A,B\in {\mathbb{𝔽}}^{n\times n}$ מטריצות חופפות אם קיימת מטריצה הפיכה $P\in {\mathbb{𝔽}}^{n\times n}$,

כך ש: $B=P^{*}AP$, כאשר $P^{*}=\overline{P^T}$ הוא הצמוד ההרמיטי של P.

ניתן להראות כי כל שתי מטריצות המייצגות את אותה תבנית בילינארית בבסיסים שונים הן חופפות.

מכך נובע גם כי מטריצה $A\in {\mathbb{𝔽}}^{n\times n}$ מייצגת מכפלה פנימית אם ורק אם היא חופפת למטריצת היחידה $I$.

הוכחה:
נניח כי $A$ חופפת ל-$I$. מכאן נובע שקיימת מטריצה הפיכה $P$ כך ש-$A=P^{*}IP=P^{*}P$. לכן $A^{*}=(P^{*}P{)}^{*}=P^{*}P=A$.

כלומר $A$ הרמיטית. נותר להוכיח כי $A$ מטריצה חיובית. יהא $\underset{\_}{b}\in {\mathbb{𝔽}}^n$. אזי ${\underset{\_}{b}}^{*}A\underset{\_}{b}={\underset{\_}{b}}^{*}{P}^{*}P\underset{\_}{b}=(P\underset{\_}{b}{)}^{*}(P\underset{\_}{b})$.

הביטוי האחרון שקיבלנו הוא המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-${\mathbb{ℂ}}^n$, לכן ${\underset{\_}{b}}^{*}A\underset{\_}{b}=⟨P\underset{\_}{b},P\underset{\_}{b}⟩=\Vert P\underset{\_}{b}{\Vert }^2\ge 0$.

שוויון מתקבל אמ"מ $P\underset{\_}{b}=\underset{\_}{0}$, וכיוון ש-$P$ הפיכה, אזי השוויון יתקבל אמ"מ $\underset{\_}{b}=\underset{\_}{0}$. כלומר $A$ מוגדרת חיובית.

נניח כי A מייצגת מכפלה פנימית. אזי A הרמיטית ומוגדרת חיובית.

תהי P מטריצת מעבר מהבסיס הסטנדרטי לבסיס אורתונורמלי במובן הבא ${\underset{\_}{v}}_i^{*}A{\underset{\_}{v}}_j={\delta }_{ij}$ (הדלתא של קרונקר).

אזי $P^{*}AP=I$ שכן ${\delta }_{ij}={\underset{\_}{v}}_i^{*}A{\underset{\_}{v}}_j={\underset{\_}{e}}_i^{*}{P}^{*}AP{e}_j=(P^{*}AP{)}_{ij}$. מ.ש.ל.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.