מספר מדומה

מספר מדומה (או "מספר דמיוני" הפחות מקובל) הוא מספר שריבועו הוא מספר ממשי שלילי. כל מספר מדומה אפשר להציג כמכפלה $ib$, כאשר $b$ הוא מספר ממשי, ו-$i$ הוא "היחידה המדומה" (שהיא אחד משני השורשים, $i$ ו-$-i$ של מינוס אחת: $i^2=-1$).

כיוון שהריבוע של כל מספר ממשי הוא חיובי או אפס, למינוס אחת (שהוא מספר שלילי) אין שורש ממשי. על ידי 'המצאה' של מספר שאינו ממשי, $i$, ושילובו עם שדה המספרים הממשיים, מתקבל שדה גדול יותר, הנקרא "שדה המספרים המרוכבים". מספר מרוכב בנוי מחלק ממשי וחלק מדומה בצורה $a+ib$ כאשר $a,b$ מספרים ממשיים.

שדה המספרים המרוכבים סגור להוצאת שורש בכלל, ולהוצאת שורש ריבועי בפרט.

היסטוריה

כיוון שלמספר שלילי אין שורש ריבועי בשדה המספרים הממשיים, מתמטיקאים התייחסו אל משוואה כגון $x^2+1=0$ כאל משוואה שאין לה פתרון. הצורך בהתייחסות שונה לשורש של מספר שלילי התעורר כאשר ג'ירולמו קרדאנו גילה, בתחילת המאה ה-16, שהדרך לפתרון משוואה ממעלה שלישית, גם כאשר פתרון זה הוא מספר ממשי, מובילה אותו לנוסחה שבה מופיעים שורשים של מספרים שליליים.

בעקבות קרדאנו הוגדרו המספרים המרוכבים במפורש, בשנת 1572, על ידי רפאל בומבלי (Rafael Bombelli). באותה עת נחשבו מספרים כאלה לבלתי קיימים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן למספרים אלה. דקארט, הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". את האות i, שהפכה לסימון המקובל במתמטיקה עבור היחידה המדומה, בחר אוילר ב-1777; מהנדסי חשמל מעדיפים לסמן מספר זה באות j, כדי לא להתנגש עם האות המייצגת זרם.

מאפיינים אלגבריים

קבוצת המספרים המדומים, כלומר קבוצת כל המספרים מהצורה $ib$ כאשר $b$ הוא מספר ממשי, סגורה תחת חיבור: $bi+b^{\prime }i=(b+b^{\prime })i$ (כחבורה חיבורית, הקבוצה איזומורפית לקבוצת הממשיים), אך אינה סגורה תחת כפל, משום שמכפלת שני מספרים מדומים היא מספר ממשי.

פעולת ההעלאה של היחידה המרוכבת i בחזקת מספר מדומה היא תמיד ממשית: $i^{ia}=(e^{\frac{\pi i}{2}}{)}^{ia}=e^{-\frac{\pi a}{2}}$.

ראו גם

• המספר i

לקריאה נוספת

• Paul Nahin, An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of -1 (Princeton University Press, 1998).

קישורים חיצוניים

• Imaginary Numbers are Real, רשימת השמעה, באתר יוטיוב‏ (9 חלקים) (אורך כולל: 41:45) – סדרת סרטונים, הסוקרת בצורה ידידותית את התפתחותם של המספרים המרוכבים (והמספרים בכלל) לאורך ההיסטוריה, חוקרת האם הם מספרים "אמיתיים" ובוחנת מקצת מהמשמעויות וההשלכות שלהם על עולם המדע