אלגברות קיילי-דיקסון

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, אלגברות קיילי-דיקסון הן האלגברות המתקבלות באמצעות בניית קיילי-דיקסון (עם הקבוע 1-) מן השדה של המספרים הממשיים. האלגברה הראשונה בסדרה היא שדה המספרים המרוכבים. אחר-כך מקבלים את אלגברת הקווטרניונים של המילטון ואת אלגברת האוקטוניונים. בהמשך הסדרה מתקבלות אלגברות לא אסוציאטיביות פשוטות ממימד 16, 32, 64, וכן הלאה.

לכל אלגברת קיילי-דיקסון יש אינוולוציה המכלילה את פעולת הצמוד המרוכב, ובאמצעותה מוגדרת תבנית נורמה: הנורמה של איבר היא מכפלתו בצמוד שלו. האלגברות המתקבלות במהלך הבניה מאבדות תכונות חשובות בזו אחר זו: השדה הממשי הוא האלגברה היחידה שכל איבריה סימטריים; השדה המרוכב הוא האלגברה הקומוטטיבית האחרונה; אלגברת הקווטרניונים היא האלגברה האסוציאטיבית האחרונה; ואילו אלגברת האוקטוניונים היא האלגברה האלטרנטיבית האחרונה, וגם האחרונה שאין בה מחלקי אפס. עם זאת, כולן ריבועיות ומקיימות את הזהות הגמישה. הן פשוטות, והמרכז שלהן שווה לשדה הבסיס.

אפשר להכליל את הבניה כך שתעבוד מעל כל שדה בסיס. באופן כזה מתקבלות בצעד השני של הבניה כל אלגברות הקווטרניונים, ובצעד השלישי כל אלגברות האוקטוניונים -- ראו בניית קיילי-דיקסון.

מספרים מרוכבים כזוג סדור

המספרים המרוכבים יכולים להירשם כזוג סדור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b)} של מספרים ממשיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ו-, עם חיבור שמוגדר רכיב רכיב ומכפלה שמוגדרת כך:
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( a,b \right)\left( c,d \right)=\left( ac-db,ad+cb \right)}
מספר מרוכב שהרכיב השני שלו שווה לאפס מתלכד עם מספר ממשי: המספר המרוכב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,0)} הוא המספר הממשי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} .

על המספרים המרוכבים אפשר להגדיר אופרטור הצמדה, לפי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{\left( a,b \right)}=\left( a,-b \right)} . לפונקציה הזו יש התכונה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{\left( a,b \right)}\left( a,b \right)=\left( aa+bb,ab-ba \right)=\left( a^{2}+b^{2},0 \right)} , כך שכפל של מספר בצמוד שלו נותן תמיד מספר ממשי אי שלילי. בדרך זו, הצמדה מגדירה נורמה, שהופכת את המספרים המרוכבים למרחב נורמי מעל המספרים הממשיים: הנורמה של מספר מרוכב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} היא: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left| z \right|=\left( \bar{z}z \right)^{{1}/{2}\;}} . הצמוד מאפשר לחשב את ההפכי של כל מספר מרוכב שונה מאפס: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z^{-1}={{\bar{z}}}/{\left| z \right|^{2}}\;} .

אפשר לראות בפעולת ההצמדה הכללה של פונקציית הזהות על הממשיים. במובן זה, תכונת המספרים הממשיים להיות צמודים לעצמם אבדה בתהליך, והיא אינה נכונה עוד במספרים המרוכבים.

צעד שני: הקווטרניונים

אלגברת הקווטרניונים של המילטון מתקבלת מן המספרים המרוכבים באופן דומה. החיבור של זוגות סדורים הוא לפי רכיבים, ואת פעולת הכפל מגדירים לפי הנוסחה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( a,b \right)\left( c,d \right)=\left( ac-d\bar{b},\bar{a}d+cb \right)} ; מכיוון ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( a,0 \right)\left( c,0 \right)=\left( ac,0 \right)} , המרוכבים מהווים תת-חוג של האלגברה החדשה, שאינה קומוטטיבית. גם לאלגברת הקווטרניונים יש אינוולוציה, המוגדרת לפי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{\left( a,b \right)}=\left( \bar{a},-b \right)} , ומקיימת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{\left( a,b \right)}\left( a,b \right)=\left( \bar{a},-b \right)\left( a,b \right)=\left( \bar{a}a+\bar{b}b,ab-ba \right)=\left( \left| a \right|^{2}+\left| b \right|^{2},0 \right)} . מכיוון שתוצאת הכפל היא מספר ממשי הפיך, כל איבר שונה מאפס הוא הפיך ולכן האלגברה היא אלגברה עם חילוק.

צעד שלישי: האוקטוניונים

אותה נוסחת כפל עבור זוגות סדורים של קווטרניונים, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( a,b \right)\left( c,d \right)=\left( ac-d\bar{b},\bar{a}d+cb \right)} , מגדירה אלגברה חדשה הנקראת אלגברת קיילי, שאינה אסוציאטיבית (הדוגמה המוכרת ביותר לאלגברת קיילי היא אלגברת האוקטוניונים). האלגברה הזו מקיימת זהות חלשה יותר: היא אלטרנטיבית. תבנית הנורמה שלה, בתור מרחב וקטורי מממד 8 מעל הממשיים, היא סכום של שמונה ריבועים. הנורמה כפלית, ונותנת נוסחת כפל לסכומים מסוג זה (שאינה קיימת בממדים גבוהים יותר).

ממד 16 ואילך

אותה נוסחת כפל, המיושמת לזוגות סדורים של אוקטוניונים, נותנת אלגברה מממד 16, הנקראת "אלגברת הסדניונים". אלגברה זו אינה אלטרנטיבית. באופן כזה אפשר להמשיך לבנות אלגברות מממד הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^n} לכל n. אלגברות אלו מקיימות כולן את הזהות הגמישה, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x(yx)=(xy)x} .

תבנית הנורמה של אלגברת קיילי-דיקסון מממד היא סכום של ריבועים כמספר הזה. מעל שדה סדור זוהי תבנית אנאיזוטרופית, ולכן כל האיברים באלגברות קיילי-דיקסון הם הפיכים, כלומר לכל איבר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} קיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x'} כך ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle xx'=x'x=1} . עם זאת, באלגברת קיילי-דיקסון מממד 16 יש מחלקי אפס, והיא אינה אלגברת חילוק: לא לכל המשוואות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ax = b} יש בה פתרון יחיד.

ראו גם


סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0