דרגה (אלגברה ליניארית)

באלגברה לינארית, דרגת העמודות $\rho _{C}(A)$ של מטריצה $A$ מוגדרת להיות ממד מרחב העמודות שלה, כלומר, המספר המקסימלי של וקטורי עמודה בלתי־תלויים לינארית מבין עמודות המטריצה. באופן דומה, דרגת השורות $\rho _{R}(A)$ של $A$ היא ממד מרחב השורות שלה.

דרגת העמודות שווה תמיד לדרגת השורות של המטריצה, ולכן מקובל לקרוא לערך המשותף שלהן דרגת המטריצה $A$ ולסמנו ${\text{rank}}(A)$ .

הדרגה של מטריצה $m\times n$ היא לכל היותר $\min(m,n)$ . מטריצה שדרגתה שווה לערך מקסימלי זה נקראת מטריצה מדרגה מלאה. מטריצה שדרגתה נמוכה יותר נקראת מטריצה מדרגה חסרה.

דרך פשוטה למצוא דרגה של מטריצה היא לדרג אותה לצורה הקנונית שלה ואז לספור את כל השורות שהן לא שורות אפסים. שיטה זו עובדת כיוון שפעולות שורה לא משפיעות על המרחב הנפרש של השורות (span) ולכן אחרי דירוג נוכל לראות בדיוק כמה שורות בלתי־תלויות לינארית זו בזו, זה יתן את ממד מרחב השורות שזהו כמובן הדרגה של המטריצה.

משפטים הקשורים לדרגה

• במטריצה מסדר $n\times n$ :
  • דרגת המטריצה קטנה מ־$n$ אם ורק אם הדטרמיננטה שווה לאפס.
  • דרגת המטריצה שווה ל־$n$ אם ורק אם המטריצה הפיכה.
• הרכבה של מטריצה מסדר $n\times m$ ומטריצה הפיכה ריבועית $n\times n$ , לא משנה את דרגת המטריצה.
• למערכת משוואות לינאריות קיים פתרון, אם ורק אם דרגת מטריצת המקדמים שלה שווה לדרגת מטריצת המקדמים המצומצמת שלה.
• יהי $P$ מרחב הפתרונות של מערכת משוואות לינאריות הומוגנית $A$ ב־$n$ משתנים, אז ${\text{rank}}(A)=n-\dim(P)$ (משפט זה ידוע כ"משפט הדרגה")
• אם $V,W$ מרחבים וקטוריים מעל שדה ${\mathbb {F}}$ ו־$T:V\to W$ העתקה לינארית, מגדירים את הדרגה של $T$ להיות הממד של התמונה שלה: ${\text{rank}}(T)=\dim {\text{Im}}(T)$ . אם $V,W$ הם וקטוריים סוף־ממדיים ו־$A$ היא המטריצה המייצגת של $T$ ביחס לבחירה כלשהי של בסיסים על $V,W$ , אז מתקיים ${\text{rank}}(T)={\text{rank}}(A)$ ללא תלות בבסיסים שנבחרו. לכן במקרה הסוף־ממדי, דרגה של מטריצה ודרגה של העתקה לינארית הם מושגים שקולים.
• אי־שוויון סילבסטר: אם $A$ מטריצה מסדר $m\times n$ ו־$B$ מסדר $n\times k$ אז:

${\text{rank}}(A)+{\text{rank}}(B)-n\leq {\text{rank}}(AB)$

• בהינתן $A,B$ שתי מטריצות מאותו סדר, אז

${\text{rank}}(A+B)\leq {\text{rank}}(A)+{\text{rank}}(B)$

• לכל מטריצה ריבועית $A$ מעל המספרים הממשיים מתקיים:

${\text{rank}}(A^{\text{T}}A)={\text{rank}}(AA^{\text{T}})={\text{rank}}(A)={\text{rank}}(A^{\text{T}})$

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0