מרחב טופולוגי

בטופולוגיה, מרחב טופולוגי הוא מושג שמאפשר להכליל מושגים כמו התכנסות, קשירות, רציפות והפרדה בין נקודות. המרחבים הטופולוגיים מהווים הכללה והפשטה של המרחבים המטריים.

הגדרה פורמלית

מרחב טופולוגי הוא קבוצה X ומשפחה $\ \tau$ של תתי-קבוצות של X המקיימת שלושה תנאים:

1. הקבוצה הריקה והקבוצה X שייכים ל־$\ \tau$.
2. $\ \tau$ סגורה תחת איחוד: איחוד של כל אוסף קבוצות מ־$\ \tau$ שייך ל־$\ \tau$ .
3. חיתוך של שתי קבוצות מ־$\ \tau$ שייך גם הוא ל־$\ \tau$ . (אין הכרח שחיתוך מספר אינסופי של קבוצות ממשפחה זו שייך למשפחה)

הקבוצות השייכות ל-$\ \tau$ ייקראו קבוצות פתוחות. $\ \tau$ נקראת הטופולוגיה על X. קבוצה שמשלימתה פתוחה תיקרא קבוצה סגורה. אברי X יקראו "נקודות".

הערות

כאמור, כל מרחב מטרי הוא גם מרחב טופולוגי, מאחר שהקבוצות הפתוחות המושרות על ידי המטריקה במרחב המטרי מקיימות את התנאים המובאים בהגדרת טופולוגיה.

אוסף של קבוצות פתוחות, כך שכל קבוצה פתוחה במרחב X יכולה להיכתב כאיחוד של קבוצות השייכות לו ייקרא "בסיס". לעיתים נוח יותר לתאר מרחב טופולוגי באמצעות בסיס שלו. למשל, כל הכדורים הפתוחים במרחב מטרי מהווים בסיס לטופולוגיה שלו. יש להעיר שלא כל קבוצת קבוצות חלקיות למרחב $\ X$ מהווה בסיס לטופולוגיה כלשהי.

אוסף של קבוצות מ־$\ \tau$ כך שהקבוצה של כל החיתוכים הסופיים של קבוצות מהאוסף מהווה בסיס למרחב נתון, ייקרא "תת-בסיס" למרחב. תת-בסיס הוא קבוצה מצומצמת אף מבסיס, אך כמו הבסיס יכול לספק ייצוג נוח יותר לטופולוגיה נתונה. על אף שלא כל משפחת קבוצות מהווה בסיס לטופולוגיה, כל משפחה כזו מהווה תת-בסיס לטופולוגיה כלשהי.

ממרחבים טופולוגיים קיימים ניתן לבנות מרחבים חדשים על ידי מכפלה ומנה.

דוגמאות

מרחב טריוויאלי

לכל מרחב $\ X$ ניתן להגדיר טופולוגיה $\ \tau =\{X,\varnothing \}$ .

קל לראות שקבוצה זו מקיימת את כל התכונות הנדרשות מטופולוגיה.

ניתן להבחין שלכל $\ X$ בן יותר מנקודה אחת, מרחב זה אינו מטריזבילי. (למשל, כיוון שאינו מרחב האוסדורף)

מרחב דיסקרטי

טופולוגיה נוספת אשר ניתן להגדיר על כל מרחב $\ X$ היא הטופולוגיה הדיסקרטית – $\ (X,P(X))$. כלומר, טופולוגיה בה כל תת-קבוצה של $\ X$ היא קבוצה פתוחה.

גם במקרה זה, ניתן לראות ללא קושי רב שמדובר במרחב טופולוגי.

בשונה מהמרחב הטריוויאלי, מרחב זה לעולם מטריזבילי. (כיוון שהוא מתקבל על ידי המטריקה הדיסקרטית – מטריקה עבורה לכל $\ x\neq y$, $\ d(x,y)=c$.)

הטופולוגיה הקו־סופית

דוגמה מעט יותר מורכבת לטופולוגיה היא הטופולוגיה הקו-סופית מעל מרחב $\ X$ כלשהו. בטופולוגיה זו, הקבוצות הפתוחות הן אלה שהמשלים שלהן סופי, והקבוצה הריקה (ההוכחה לכך שמדובר במרחב טופולוגי נעשית תוך שימוש בכללי דה-מורגן).

עבור $\ X$ אינסופי, טופולוגיה זו עשירה מהטופולוגיה הטריוויאלית וענייה ממש מהטופולוגיה הדיסקרטית. (טופולוגיה אחת נקראת עשירה מאחרת אם כל הקבוצות הפתוחות לפי השנייה פתוחות גם לפי הראשונה). במרחב אינסופי, הטופולוגיה הקו-סופית אינה האוסדורף.