תנע זוויתי

תנע זוויתי הוא גודל פיזיקלי וקטורי המודד תנועה סיבובית.

תנע זוויתי נשמר במערכת סגורה. במכניקה, ובפרט במכניקה של גוף קשיח, שימור התנע הזוויתי מנוצל להקניית יציבות לכלי רכב דו־גלגליים ולפעולת הגירוסקופ המכני, והוא גם הגורם העיקרי ליצירת כוכבי לכת. במכניקת הקוונטים, שימור התנע הזוויתי מקל על חישוב הגדרת תגובות אפשריות בין חלקיקים.

הסבר אינטואיטיבי

התנע הזוויתי מזכיר בתכונותיו את תכונות התנע הקווי (התנע הפשוט והמוכר יותר, הנתפס כתנופה של גוף נע). התנע הקווי, המוגדר כמכפלת המסה במהירות, מתאר את יכולתו של גוף להמשיך בתנועתו (תכונה זו נקראת גם אינרציה; ככל שהתנע של גוף גדול יותר, כך יהיה קשה יותר להאט או להאיץ אותו): על-פי חוק שימור התנע, אם לא פועלים כוחות חיצוניים אזי התנע של גוף נשאר קבוע, ועל-פי החוק השני של ניוטון, כוחות גורמים לשינוי בתנע. לדוגמה, קשה יותר לעצור משאית מאשר אופנוע שנוסעים במהירות זהה, כיון שמסת המשאית גדולה יותר, ולכן גם התנע שלה גדול יותר.

באופן דומה, חוק שימור התנע הזוויתי קובע שגוף מסתובב ימשיך להסתובב כל עוד לא פועלים עליו מומנטים חיצוניים. לכן, לדוגמה, כאשר שתי דיסקות בגודל זהה אך שונות במשקלן מסתובבות סביב עצמן במהירות זהה, יהיה קשה יותר לעצור את הדיסקה הכבדה יותר, משום שיש לה תנע זוויתי גדול יותר.

בנוסף, התנע הזוויתי תלוי גם במרחק מציר הסיבוב. כך למשל, אם אדם מתחיל להסתובב סביב עצמו בתנופה כשרגלו האחת באויר, כאשר זרועותיו ורגלו השניה פרושות כלפי חוץ, ואז הוא מקרב אותן לגופו, מהירות הסיבוב שלו עולה. תופעה זאת נובעת מכך שכאשר הוא מקרב את זרועותיו, הוא מקטין את המרחק שלהן מציר הסיבוב, ומשימור התנע הזוויתי נובע שמהירות הסיבוב שלו חייבת לגדול.

תנע זוויתי של גוף נקודתי

גוף עם תנע קווי ${\vec {p}}$ , בשלוש מערכות ייחוס שונות </math>A,B,C</math> . מערכת הייחוס משפיעה על גודלו וכיוונו של התנע הזוויתי

במכניקה קלאסית, מוגדר וקטור התנע הזוויתי ${\vec {L}}$ של גוף נקודתי על-ידי הנוסחה:

$${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$$

כאשר ${\vec {r}}$ הוא וקטור ההעתק מראשית הצירים למיקום הגוף, ${\vec {p}}$ הוא וקטור התנע הקווי, והפעולה $\times$ מסמנת מכפלה וקטורית.

במילים אחרות, ערכו של התנע הזוויתי תלוי במרחקו של הגוף מראשית הצירים, בערכו של התנע הקווי ובזווית בין התנע הקווי לציר הסיבוב. גודלו של התנע הזוויתי, בהיותו נתון על-ידי מכפלה וקטורית, הוא

$[{\vec {L}}]=r\cdot p\cdot \sin(\alpha )$

כאשר $\alpha$ היא הזווית בין ${\vec {r}}$ ל־${\vec {p}}$ , וכיוונו מקביל לציר הסיבוב (כלומר, ניצב למישור הסיבוב).

בפרט, נובע מהנוסחה כי התנע הזוויתי הוא לא גודל מוחלט, והוא עשוי להשתנות עם שינוי מיקומה של ראשית הצירים. למשל, באיור מופיע (באדום) גוף, שיש לו תנע קווי במערכת המעבדה (מסומן ${\vec {p}}$). בהנחה כי ${\vec {r}}_{B}=2{\vec {r}}_{A}$ , גודלו של ${\vec {L}}$ במערכת שבה $B$ היא ראשית הצירים כפול מגודלו במערכת צירים שבה $A$ היא ראשית הצירים. בנוסף, במערכת שבה $C$ ראשית הצירים, גודלו של התנע הזוויתי מתאפס.

מנוסחה זו ניתן להסיק גם את היחידות של התנע הזוויתי. במערכת היחידות הבינלאומית (SI):

$[{\vec {L}}]=\left[{\vec {r}}\times {\vec {p}}\right]=[r]\cdot [p]=m\cdot \left(kg\cdot {\frac {m}{s}}\right)=\left(kg\cdot {\frac {m^{2}}{s^{2}}}\right)\cdot s=J\cdot s$

כלומר, לתנע הזוויתי יחידות של ג'ול-שנייה במערכת SI. באופן דומה ניתן להראות כי במערכת cgs, היחידות של התנע הזוויתי הן ארג-שנייה.

כמו כן, באמצעות הגדרת התנע הזוויתי, ניתן להסיק מהחוק השני של ניוטון ${\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}$ חוק מקביל עבור תנועה סיבובית:

$${\vec {\tau }}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$$

כאשר ${\vec {\tau }}$ נקרא מומנט הכוח השקול הפועל על הגוף.

אם לא פועל מומנט כוח על הגוף, התנע הזוויתי נשמר (כלומר: הוא אינו משתנה לאורך זמן). מומנט הכוח יכול להתאפס אם לא פועל כוח על הגוף, או אם הכוח השקול פועל במקביל ל־${\vec {r}}$ . למשל, כוח הכבידה הפועל בין השמש וכדור הארץ הוא כוח מרכזי: אם נבחר את ראשית הצירים במרכז השמש, הכוח שמפעילה השמש על כדור הארץ הוא בכיוון ${\vec {r}}$ . לכן השמש אינה מפעילה מומנט כוח על כדור הארץ, וכתוצאה מכך התנע הזוויתי של כדור הארץ סביב השמש נשמר.

במערכת בה התנע הזוויתי והמסות נשמרים, הגדלת רדיוס הסיבוב תקטין את המהירות הקווית ולהפך.

בניסוח לפי המכניקה האנליטית, התנע הזוויתי הוא התנע הקנוני הצמוד לקואורדינטות הזווית (כלומר, הקואורדינטות שמתארות את דרגות החופש של הסיבוב). לכן, לפי משפט נתר, התנע הזוויתי נשמר אם הלגראנז'יאן סימטרי לסיבוב מערכת הצירים.

תנע זוויתי של גוף קשיח

ערך מורחב – מכניקה של גוף קשיח

התנע הזוויתי של גוף קשיח המסתובב במהירות זוויתית קבועה $\omega$ סביב ציר מסוים, הוא מכפלת המהירות הזוויתית במומנט ההתמד של הגוף $I$ סביב אותו ציר,

$L=I\omega$

מומנט ההתמד הוא תכונה של הגוף, המציינת את "התנגדותו" לשינוי בסיבוב סביב ציר מסוים.

במקרה הכללי יותר, עבור סיבוב במהירות זוויתית כללית ${\vec {\omega }}$ סביב ציר שכוונו הוא כוון וקטור המהירות הזוויתית, התנע הזוויתי הוא מכפלת טנזור ההתמד של הגוף בווקטור המהירות הזוויתית,

${\vec {L}}={\hat {I}}{\vec {\omega }}$

טנזור ההתמד של הגוף מכליל את מומנט ההתמד עבור כל כווני הסיבוב.

האנרגיה הקינטית הסיבובית של גוף קשיח נתונה על-ידי:

$E_{k}={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}^{T}{\hat {I}}{\vec {\omega }}$

כאשר הגוף מסתובב סביב ציר סיבוב קבוע:

$E_{k}={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2}$

התנע הזוויתי כפסאודו-וקטור

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

כפי שנאמר לעיל, התנע הזוויתי מוגדר באמצעות מכפלה וקטורית. לכן, הוא מתנהג כפסאודו-וקטור, כלומר: שיקוף במישור מקביל לו הופך את כיוונו.

כמו בהקשרים אחרים, כדי לשמור על אופיו של התנע הזוויתי כטנזור ניתן להמיר אותו בטנזור אנטיסימטרי מדרגה 2:

$L_{ij}=r_{i}p_{j}-p_{i}r_{j}={\begin{bmatrix}0&L_{z}&-L_{y}\\-L_{z}&0&L_{x}\\L_{y}&-L_{x}&0\end{bmatrix}}$

תנע זוויתי במכניקת הקוונטים

במכניקת הקוונטים, התנע הזוויתי הוא אופרטור הרמיטי המשמש בפתרון משוואת שרדינגר של מערכות במרחב התלת-ממדי עם פוטנציאל בעל סימטריה כדורית.

אופרטור התנע הזוויתי ${\vec {L}}$ הוא אופרטור וקטורי, המוגדר כקוונטיזציה של התנע הזוויתי במכניקה הקלאסית:

${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$

כאשר ${\vec {r}}$ הוא אופרטור ההעתק ו־${\vec {p}}$ הוא אופרטור התנע הקווי הווקטורי (המוגדר בהצגת המקום המוגדר באמצעות הגרדיאנט: ${\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}$).

מתוך הגדרה זו, מתקבלים שלושה אופרטורים סקלריים: $L_{x},L_{y},L_{z}$ – למשל, רכיב התנע הזוויתי בכיוון ציר ${\hat {z}}$ :

$L_{z}=xp_{y}-yp_{x}$

בנוסף, נהוג להגדיר אופרטור $L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}$ , ובעזרתו להגדיר בסיס מצבים עצמיים לשני האופרטורים $L^{2},L_{z}$ . בסיס זה מאופיין על-ידי שני מספרים קוונטיים $l,m$ , ומקיים את משוואות הערכים העצמיים:

• $L^{2}|l,m\rangle =\hbar ^{2}l(l+1)|l,m\rangle$
• $L_{z}|l,m\rangle =\hbar m|l,m\rangle$

כאשר:

$l\in \{0,1,2,\ldots \}$

$-l\leq m\leq l$

בנוסף, נהוג להגדיר אופרטורי סולם (אופרטורי העלאה והורדה) של התנע הזוויתי:

$L_{\pm }=L_{x}\pm iL_{y}$

אופרטורים אלה משמשים למציאת הערכים האפשריים לתנע הזוויתי. הפעלתם על מצב עצמי, משנה (מגדילה או מורידה) את המספר הקוונטי $m$ :

$L_{\pm }|l,m\rangle =\hbar {\sqrt {l(l+1)-m(m\pm 1)}}|l,m\pm 1\rangle$

$\propto |l,m\pm 1\rangle$

יחסי החילוף של אופרטורי התנע הזוויתי הם:

• $[L_{i},L_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}L_{k}$
• $\ [L^{2},L_{z}]=0$
• $[L_{z},L_{\pm }]=\pm \hbar L_{\pm }$
• $[L^{2},L_{\pm }]=0$
• $[L^{2},H]=[L_{z},H]=0$

כאשר הקומוטטור מוגדר: $[A,B]=AB-BA$

שימושים

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

כאשר חלקיק נתון בפוטנציאל ספרי־סימטרי (כלומר, פוטנציאל התלוי רק במרחק $r$ מהראשית), נוח לעבוד בקואורדינטות כדוריות. מאחר שהתנע הזוויתי מתחלף עם ההמילטוניאן ובבסיס זה אפשר לבצע הפרדת משתנים $\psi ({\vec {r}})=R(r)\Theta (\theta ,\phi )$ במשוואת שרדינגר ולקבל:

• משוואה עבור החלק הזוויתי:

  • $L^{2}\Theta (\theta ,\phi )=\left[{\frac {1}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\Theta (\theta ,\phi )$

  פתרונותיה של משוואה זאת הם ההרמוניות הספריות $\Theta (\theta ,\phi )=Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$ .

• משוואה עבור החלק הרדיאלי:

  • ${\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}{\bigl (}rR(r){\bigr )}+{\frac {\hbar ^{2}l(l+1)}{2mr^{2}}}R(r)+V(r)R(r)=E\ R(r)$

  פתרונות המשוואה הרדיאלית לגבי $u(r)=rR(r)$ מערב בדרך כלל פונקציית בסל.

הפרדת משתנים זו היא למעשה לכסון המצבים של ההמילטוניאן עם אופרטור התנע הזוויתי.

באטום המימן, שימור התנע הזוויתי הוא אחד הגורמים לניוונים המאפשרים לאכלס רמות אנרגיה זהות במספר מצבים קוונטים שונים. עם זאת, עבור חלקיקים בעלי ספין ישנו צימוד בין הספין לתנע הזוויתי (צימוד ספין-מסילה), המשנה את צורת ההמילטוניאן, ומוסיף לו איבר מהצורה $H_{LS}=k{\vec {L}}\cdot {\vec {S}}$ . במצב כזה, הניוון מוסר, וכדי ללכסן את ההמילטוניאן יש לעבור לבסיס אופרטורים חדש על-ידי חיבור תנע זוויתי, ${\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}$ .

התנע הזוויתי הוא היוצר של הסיבובים. לכן, אופרטור הסיבוב בזווית $\theta$ סביב ציר בכיוון ${\hat {n}}$ נתון בעזרת התנע הזוויתי:

$R_{\theta }=\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {n}}\cdot {\vec {L}}\right)$

ראו גם

• הרמוניות ספריות
• ספין

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תנע זוויתי בוויקישיתוף

• ארז גרטי, הקשר בין החלקה על הקרח לתנע זויתי, במדור "מאגר המדע" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 2 ביולי 2011
• אופרטורים וקטוריים במרחב הילברט מתוך הבלוג רשימות בפיזיקה עיונית

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0