תחום הערכה דיסקרטית

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה מופשטת, תחום הערכה דיסקרטית (באנגלית discrete valuation ring, או DVR) הוא תחום שלמות המהווה חוג שלמים של הערכה דיסקרטית כלשהי של שדה (ראו להלן).

מבין החוגים המרכזיים בתורת המספרים האלגברית, האריתמטיקה של תחומי הערכה דיסקרטית היא הפשוטה ביותר: בכל חוג כזה יש איבר ראשוני יחיד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} , וכל איבר שקול (עד כדי הפיכים) לחזקה של $p$; לכן כל אידיאל של החוג הוא מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle p^n \rangle} . כל מיקום של חוג דדקינד באידיאל ראשוני הוא תחום הערכה דיסקרטית. לדוגמה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}_{\langle 3 \rangle} = \{\frac{a}{b} : a,b \in \mathbb{Z}, 3\!\not | b\}} הוא תחום הערכה דיסקרטית (השייך להערכה ה-3-אדית של הרציונליים).

את תחומי ההערכה הדיסקרטיים אפשר לאפיין בדרכים רבות. להלן כמה הגדרות שקולות, הקובעות מתי תחום שלמות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא תחום הערכה דיסקרטית.

1. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא תחום ראשי מקומי (שאינו שדה).
2. $R$ הוא חוג דדקינד מקומי (שאינו שדה).
3. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא חוג מקומי נתרי עם ממד קרול חיובי, שהאידיאל המקסימלי שלו ראשי.
4. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא תחום פריקות יחידה בעל איבר אי פריק יחיד (עד כדי כפל באיברים הפיכים).
5. קיימת הערכה דיסקרטית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} על שדה השברים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} כך ש-$R$ הוא חוג השברים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R=\{x\in K:v(x)\ge 0\}} . החוג קובע את ההערכה באופן יחיד (עד כדי כפל בקבוע).
6. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא תחום הערכה שחבורת ההערכה שלו היא המספרים השלמים ביחס לפעולת החיבור.

תחומי הערכה בדידה שלמים

ההערכה מגדירה על החוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} טופולוגיה מטרית, והוא עשוי להיות שלם ביחס אליה. לכל תחום הערכה בדידה יש השלמה, שהיא תחום הערכה בדידה שלם. לדוגמה, ההשלמה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}_{\langle 3 \rangle}} היא חוג השלמים ה-3-אדיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}_3} .

לכל שדה ממאפיין חיובי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} יש חוג הערכה דיסקרטית שלם לא מסועף יחיד ששדה השאריות שלו הוא $F$. כל חוג מקומי (קומוטטיבי) ארטיני ראשי הוא מנה של תחום הערכה דיסקרטית שלם.

יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} אידיאל ראשוני של תחום דדקינד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} . אזי אפשר להגדיר את ההערכה הבאה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v(x) = \max\{ n | x \in P^n \}} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v(0)=\infty} . לדוגמה, קל לראות שההערכה ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} -אדית מתקבלת בצורה זו כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\mathbb{Z}_p} הוא האידיאל המקסימלי $P$ בחוג המספרים ה-p-אדיים. הערכה זו מאפשרת להגדיר ערך מוחלט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} -אדי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x|_p = p^{-v(x)}} על שדה המספרים ה-p-אדיים.

מודולים מעל תחום הערכה בדידה

הדרגה של מודול M מעל תחום שלמות מוגדרת בתור המספר n המינימלי כך שכל תת-מודול נוצר סופית נוצר על ידי n איברים. אם M חסר פיתול, זהו המספר המקסימלי של איברים בלתי תלויים. כל מודול מדרגה 1 הוא אי-פריד.

לתחום הערכה בדידה יש רק שני מודולים חסרי פיתול מדרגה 1: החוג עצמו, ושדה השברים שלו.

התכונות הבאות של תחום ראשי שקולות זו לזו:

1. החוג הוא תחום הערכה בדידה שלם.
2. כל מודול נוצר מנייתית מדרגה 2 הוא פריד.
3. כל מודול נוצר מנייתית הוא סכום ישר של מודולים מדרגה 1.
4. כל מודול אי-פריד נוצר מנייתית הוא מדרגה 1.

מעל תחום הערכה בדידה שלם, חוג האנדומורפיזמים של מודול M מקיים את הגרסה הבאה של משפט סקולם-נתר, במקרה ש-M מודול מפותל, או חסר פיתול, או בעל מחובר ישר איזומורפי ל-R: כל אוטומורפיזם של החוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{End}(M)} המקבע את המרכז, הוא פנימי

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

35930875תחום הערכה דיסקרטית