פולינומי צ'בישב

המונח פולינומי צ'בישב (על שם המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב) מתייחס לשתי סדרות של פולינומים בעלי מקדמים שלמים: פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון $T_{0} (x), T_{1} (x), \dots$ , ופולינומי צ'בישב מהסוג השני $U_{0} (x), U_{1} (x), \dots$ , המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן $p (x)$ מקיים את האי-שוויון $\max_{- 1 \leq x \leq 1} | p (x) | \geq 2^{1 - n}$ , והפולינומים $2^{1 - n} T_{n} (x)$ הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון.

סימונים ומוסכמות

בערך זה נסמן ב- $ℕ$ את קבוצת המספרים הטבעיים החל מ-1, וכן נסמן $ℕ_{0} : = ℕ \cup {0}$ , כלומר קבוצת המספרים הטבעיים ואפס.

כמו כן, נסמן ב- $ℤ$ ,‏ $ℚ$ , ‏ $ℝ$ ו- $ℂ$ את קבוצות המספרים השלמים, הרציונליים, הממשיים והמרוכבים בהתאמה.

לבסוף, כלל הפונקציות הטריגונומטריות בערך זה מחושבות ברדיאנים.

מבוא ומוטיבציה

באמצעות זהויות טריגונומטריות ניתן להוכיח כי לכל מספר טבעי $k \in ℕ$ ולכל זווית ממשית $θ \in ℝ$ מתקיימות הזהויות הבאות:

$\cos ((k + 1) θ) = \cos (k θ + θ) = \cos (k θ) \cos θ - \sin (k θ) \sin θ$

$\cos ((k - 1) θ) = \cos (k θ - θ) = \cos (k θ) \cos θ + \sin (k θ) \sin θ$

על-ידי סכימת שתי המשוואות והעברת אגפים מתקבל כי:

$\cos ((k + 1) θ) = 2 \cos (k θ) \cos θ - \cos ((k - 1) θ)$

זהות זו, ביחד עם העובדה כי $\cos (0 \cdot θ) = 1$ מעידה על כך שכל פונקציה מהצורה $\cos (n θ)$ עבור $n \in ℕ$ ניתנת לחישוב כצירוף ליניארי של חזקות של $\cos θ$ .

כלומר, לכל $n \in ℕ$ קיים פולינום במקדמים שלמים $T_{n} (x) \in ℤ [x]$ כך שלכל $θ \in ℝ$ מתקיים השוויון $T_{n} (\cos (θ)) = \cos (n θ)$ .

פולינומים אלו נקראים פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון.

באופן זהה, בעקבות הזהות $\sin ((k + 1) θ) = 2 \sin (k θ) \cos θ - \sin ((k - 1) θ)$ , ניתן להוכיח כי לכל $n \in ℕ$ קיים פולינום במקדמים שלמים $U_{n} (x) \in ℤ [x]$ כך שמתקיים שלכל $θ \in ℝ$ השוויון $U_{n} (\cos (θ)) \sin θ = \sin ((n + 1) θ)$ .

פולינומים אלו נקראים פולינומי צ'בישב מהסוג השני.

הגדרה ותכונות יסוד של פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון

אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה $T_{n} (\cos (θ)) = \cos (n θ)$ , שבגללה $T_{n} (x + x^{- 1}) = x^{n} + x^{- n}$ לכל $x$ . לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית:

\begin{aligned} T_{0} (x) & = 1 \\ T_{1} (x) & = x \\ T_{n + 1} (x) & = 2 x T_{n} (x) - T_{n - 1} (x) \end{aligned}

מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה- $n$ -י היא $n$ .

מן ההגדרה נובע כי $T_{n} (T_{m} (x)) = T_{n m} (x)$

באינדוקציה (מעל המרוכבים) אפשר להוכיח את הנוסחה

T_{n} (x) = \frac{(x + \sqrt{x^{2} - 1})^{n} + (x - \sqrt{x^{2} - 1})^{n}}{2} = \sum_{k = 0}^{⌊ 0.5 n ⌋} (\binom{n}{2 k}) (x^{2} - 1)^{k} x^{n - 2 k}

ולקבל את הפונקציה היוצרת

\sum_{n = 0}^{\infty} T_{n} (x) t^{n} = \frac{1 - t x}{1 - 2 t x + t^{2}}

מתקיים גם השוויון $T_{n} (x) = 1 + n^{2} (x - 1) \prod_{k = 1}^{n - 1} (1 + \frac{x - 1}{2 \sin (\frac{k π}{n})^{2}})$ .

פולינומי צ'בישב ${T_{n}}_{n = 0}^{\infty}$ מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת $⟨ f_{1}, f_{2} ⟩ = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} f_{1} (x) f_{2} (x) d x$ .

הגדרה של פולינומי צ'בישב מהסוג השני

כמו לפולינומי צ'בישב מהסוג הראשון, גם לפולינומי צ'בישב מהסוג השני ישנן מספר הגדרות שקולות. ניתן להגדיר את סדרת פולינומים זו בעזרת נוסחא טריגונומטרית $U_{n} (\cos θ) \sin θ = \sin ((n + 1) θ)$

בנוסף, קיימת הנוסחת הנסיגה הבאה: $\begin{aligned} U_{0} (x) & = 1 \\ U_{1} (x) & = 2 x \\ U_{n + 1} (x) & = 2 x U_{n} (x) - U_{n - 1} (x) . \end{aligned}$ אפשר לשים לב שנוסחאות הנסיגה של פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון והשני זהות, למעט ההבדל ש $U_{1} (x) = 2 x$ ולאומת זאת, $T_{1} (x) = x$ .

רשימת פולינומי צ'בישב הראשונים

להלן רשימת פולינומי צ'בישב הראשונים משני הסוגים:


$U_{n} (x)$	$T_{n} (x)$	$n$
$1$	$1$	$n = 0$
$2 x$	$x$	$n = 1$
$4 x^{2} - 1$	$2 x^{2} - 1$	$n = 2$
$8 x^{3} - 4 x$	$4 x^{3} - 3 x$	$n = 3$
$1 6^{4} - 12 x^{2} + 1$	$8 x^{4} - 8 x^{2} + 1$	$n = 4$
$32 x^{5} - 32 x^{3} + 6 x$	$16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x$	$n = 5$
$64 x^{6} - 80 x^{4} + 24 x^{2} - 1$	$32 x^{6} - 48 x^{4} + 18 x^{2} - 1$	$n = 6$

תכונות וזהויות

זוגיות ואי-זוגיות

לכל מספר טבעי $n \in ℕ$ ולכל מספר ממשי $x \in ℝ$ מתקיים ש:

$T_{n} (- x) = (- 1)^{n} T_{n} (x)$

$U_{n} (- x) = (- 1)^{n} U_{n} (x)$

כלומר, פולינומי צ'בישב הם פונקציות זוגיות עבור $n$ זוגי ואי-זוגיות עבור $n$ אי-זוגי.

זהויות טריגונומטריות והיפרובוליות

לכל $n \in ℕ$ ולכל $θ \in ℝ$ פולינומי צ'בישב מקיימות את הזהויות הטריגונומטריות:

$T_{n} (\cos (θ)) = \cos (n θ)$

$U_{n} (\cos (θ)) \sin θ = \sin ((n + 1) θ)$

על-ידי החלפת $θ$ ב- $i θ$ ניתן להוכיח כי מתקיימות הזהויות הבאות עבור הפונקציות ההיפרבוליות:

$T_{n} (\cosh (θ)) = \cosh (n θ)$

$U_{n} (\cosh (θ)) \sinh θ = \sinh ((n + 1) θ)$

נגזרות

הנגזרות של פולינומי צ'בישב מקיימות את הזהויות הבאות:

$\frac{d T_{n} (x)}{d x} = n U_{n - 1} (x)$

$\frac{d U_{n} (x)}{d x} = \frac{(n + 1) T_{n + 1} (x) - x U_{n} (x)}{x^{2} - 1}$

ערכים מיוחדים

ערכים ידועים

ניתן להוכיח כי לכל $n \in ℕ$ , הפולינומים $T_{n} (x)$ ו- $U_{n} (x)$ מקבלים את הערכים הבאים:


$U_{n} (x)$	$T_{n} (x)$	$x$
$U_{n} (1) = n + 1$	$T_{n} (1) = 1$	$x = 1$
$U_{2 n - 1} (1) = 0$	$T_{2 n - 1} (1) = 0$	$x = 0$
$U_{2 n} (1) = (- 1)^{n}$	$T_{2 n} (1) = (- 1)^{n}$	$x = 0$
$U_{n} (- 1) = (n + 1) \cdot (- 1)^{n}$	$T_{n} (- 1) = (- 1)^{n}$	$x = - 1$

שורשים

באמצעות הזהות הטריגונומטרית $T_{n} (\cos (θ)) = \cos (n θ)$ , ובעקבות כך שהשורשים של פונקציית הקוסינוס $\cos θ$ הם מהצורה $θ = \frac{π}{2} + π k$ לכל $k \in ℤ$ , עולה כי השורשים של הפולינום $T_{n} (x)$ הם $x_{k} : = \cos (\frac{1 + 2 k}{2 n} \cdot π)$ עבור $k = 0, 1, 2, \dots, n - 1$ . לפי המשפט היסודי של האלגברה, לכל פולינום מדרגה $n$ יש בדיוק $n$ שורשים, ולכן אלו הם בדיוק כל השורשים של הפולינום $T_{n} (x)$ .

באופן דומה, מאחר ומתקיימת הזהות הטריגונומטרית $U_{n} (\cos (θ)) \sin θ = \sin ((n + 1) θ)$ , ובעקבות כך שהשורשים של פונקציית הקוסינוס $\sin θ$ הם מהצורה $θ = π k$ לכל $k \in ℤ$ , עולה כי השורשים של הפולינום $U_{n} (x)$ הם $x_{k} : = \cos (\frac{k}{n + 1} \cdot π)$ עבור $k = 1, 2, \dots, n$ . גם כאן מדובר בכל השורשים של הפולינום $U_{n} (x)$ .

ערכי קיצון

באמצעות העובדה כי $\frac{d T_{n} (x)}{d x} = n U_{n - 1} (x)$ , ערכי הקיצון של הפולינום $T_{n} (x)$ נמצאים ב- $x_{k} : = \cos (\frac{k}{n} \cdot π)$ עבור $k = 1, 2, \dots, n - 1$ . בנקודות אלו $T_{n} (x_{k}) = (- 1)^{k}$ . אם מוסיפים לכך ש- $T_{n} (1) = 1$ וש- $T_{n} (- 1) = (- 1)^{n}$ עולה כי בתחום $- 1 \leq x \leq 1$ , כל פולינומי צ'בישב חסומים בין $- 1$ ל- $1$ .

השלכות לבניות גאומטריות

מכך שמעלת $T_{n}$ היא $n$ נובע כי $\cos (θ)$ פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה $ℚ [\cos (n θ)]$ , ובפרט הממד $[ℚ [\cos (θ)] : ℚ [\cos (n θ)]] \leq n$ . אם בוחרים $θ = \frac{π}{2 n}$ מתקבל $T_{n} (\cos (θ)) = 0$ , ולעיתים קרובות $T_{n}$ הוא הפולינום המינימלי של $\cos (\frac{π}{2 n})$ .

שימושים

הוכחת אלגבריות של ערכי פונקציות טריגונומטריות

בהינתן מספר רציונלי $r \in ℚ$ ניתן להשתמש בפולינומי צ'בישב כדי להוכיח ש- $α : = \cos (r π)$ הוא מספר אלגברי. מאחר ו- $r$ רציונלי, קיימים $p \in ℤ, q \in ℕ$ כך ש- $r = \frac{p}{q}$ . לכן:

$T_{2 q} (α) = T_{2 q} (\cos (\frac{p}{q} π)) = \cos (2 q \cdot \frac{p}{q} π) = \cos (2 p π) = 1$

משמע ש- $α$ הוא שורש של הפולינום $T_{2 q} (x) - 1$ , ולכן הוא אלגברי.

ניתן להשתמש בשיטות דומות כדי להוכיח כי $\sin (r π)$ ו- $\tan (r π)$ אף הם אלגברים.

ראו גם

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פולינומי צ'בישב בוויקישיתוף

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פולינומי צ'בישב41677096Q619511

פולינומי צ'בישב

תוכן עניינים

סימונים ומוסכמות

מבוא ומוטיבציה

הגדרה ותכונות יסוד של פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון

הגדרה של פולינומי צ'בישב מהסוג השני

רשימת פולינומי צ'בישב הראשונים

תכונות וזהויות

זוגיות ואי-זוגיות

זהויות טריגונומטריות והיפרובוליות

נגזרות

ערכים מיוחדים

ערכים ידועים

שורשים

ערכי קיצון

השלכות לבניות גאומטריות

שימושים

הוכחת אלגבריות של ערכי פונקציות טריגונומטריות

ראו גם

קישורים חיצוניים

תפריט ניווט

פולינומי צ'בישב

סימונים ומוסכמות

מבוא ומוטיבציה

הגדרה ותכונות יסוד של פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון

הגדרה של פולינומי צ'בישב מהסוג השני

רשימת פולינומי צ'בישב הראשונים

תכונות וזהויות

זוגיות ואי-זוגיות

זהויות טריגונומטריות והיפרובוליות

נגזרות

ערכים מיוחדים

ערכים ידועים

שורשים

ערכי קיצון

השלכות לבניות גאומטריות

שימושים

הוכחת אלגבריות של ערכי פונקציות טריגונומטריות

ראו גם

קישורים חיצוניים

תפריט ניווט

חיפוש