מספר p-אדי

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בתורת המספרים וענפים שונים במתמטיקה, מספר p־אדי הוא פיתוח פורמלי לפי בסיס ראשוני $p$, שהוא סופי בצד החזקות השליליות $p^{-N}$, ועשוי להיות אינסופי בצד החזקות החיוביות. במובן זה, המספרים ה־p־אדיים הפוכים לשברים העשרוניים הרגילים, שהם סופיים מצד החזקות החיוביות, ועשויים להמשיך לאינסוף בצד החזקות השליליות. אוסף המספרים ה־p־אדיים תלוי במספר $p$, וכך קיימים מספרים 2־אדיים, 3־אדיים, 5־אדיים, וכן הלאה.

תכונות

במספר p־אדי, שצורתו הכללית

$a_{-N}{p}^{-N}+\cdots +a_0+a_{1}p+a_2{p}^2+\cdots$

עשויים המקדמים $a_{-N},\dots ,a_0,a_1,a_2,\dots$ להיות מספרים שלמים כלשהם. אולם, כל מספר p־אדי ניתן להציג גם באופן כזה שהמקדמים יהיו בטווח $0\le a_i<p$, והצגה זו היא יחידה. על כן מקובל להניח שתנאי זה מתקיים עבור המקדמים. מבין מספרים ה־p־אדיים, השלמים ה־p־אדיים הם הביטויים $a_0+a_{1}p+a_2{p}^2+\cdots$, שבהם אין חזקות שליליות של $p$.

מרחק בין שני מספרים

בין מספרים ה־p־אדיים $a,b$ מגדירים מרחק לפי חזקת $p$ הגדולה ביותר המחלקת את ההפרש – ככל שהחזקה גדולה יותר, המספרים קרובים יותר. באופן פורמלי, אם $a=a_0+a_{1}p+a_2{p}^2+\cdots$ אזי $|a{|}_p=p^{-k}$ כאשר $k$ המספר הקטן ביותר המקיים $a_k\ne 0$. כמו כן, מגדירים $|0{|}_p=0$. המטריקה היא $d(a,b)=|a-b{|}_p$.

תחת הגדרה זו, כל מספר p־אדי מהווה טור מתכנס, משום שהגורמים $a_n{p}^n$ הולכים ונעשים קטנים יותר. בין המספרים ה־p־אדיים, הסדרה $1,p,p^2,p^3,\dots$ שואפת לאפס, בעוד שבמספרים הממשיים דווקא הסדרה ההפוכה $1,p^{-1},p^{-2},\dots$ היא השואפת לאפס. היפוך תפקידים זה בין המספרים הממשיים למספרים ה־p־אדיים הוא המאפשר לחקור את המספרים הרציונליים דרך התבוננות במספרים הממשיים ובמספרים ה־p־אדיים בעת ובעונה אחת.

הצגת מספר שלילי

לפי ההגדרה, המקדמים בהצגה כטור חזקות הם $a_n\in \{0,1,\dots ,p-1\}$ שלכאורה הם חיוביים ולכן ניתן לחשוב שאי אפשר להציג מספרים שליליים בתור מספרים p־אדים. זה לא נכון. למשל: יהי $p=3$ ונתבונן במספר

$\dots 222=2\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^2+\cdots$

נחבר לו את המספר 1, נקבל

$\begin{array}{r}\dots \stackrel{1}{2}\stackrel{1}{2}\stackrel{}{2}\\ {}^{+}\dots 001\\ \dots 000\end{array}$

שכן $1+2=3$ ולכן מקבלים 0 בעמודה הראשונה ומוסיפים 1 בתור נשא (carry) לעמודה השנייה, אך גם שם $1+2=3$ ולכן גם שם מקבלים 0 ומוסיפים 1 לעמודה הבאה, וכך הלאה. בסופו של דבר מקבלים:

$\dots 222+1=0$

ולכן $-1=\dots 222=2\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^2+\cdots$

במקרה הכללי מתקיים $-1=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(p-1)p^n$. אפשר להוכיח זאת כמו בדוגמה של $p=3$ אך יש הוכחה אלגנטית יותר המשתמשת בנוסחה לסכום של טור הנדסי אינסופי (שהרי טור בחזקות הולכות וגדלות של $p$ מתכנס במטריקה ה־p־אדית). כאן $a_0=p-1,q=p$ ולכן

$S=\frac{a_0}{1-q}=\frac{p-1}{1-p}=-1$

כעת, כל מספר שלילי $m$ ניתן להציג כמכפלה של ההצגה ה־p־אדית של $|m|$ בהצגה ה־p־אדית של $-1$.

הצגת מספר רציונלי

כל מספר רציונלי ניתן להציג, באופן יחיד, בתור מספר p־אדי, שהוא לעולם מחזורי (ולהפך: מספר p־אדי הוא רציונלי אם ורק אם ההצגה שלו מחזורית). למשל, בשדה המספרים ה־5־אדיים,

$\frac{2}{3}=4+1\cdot 5+3\cdot 5^2+1\cdot 5^3+3\cdot 5^4+\cdots$

אכן, חזקות של המספר 5 שואפות לאפס (ולא לאינסוף), ולכן הטור $S=1+5^2+5^4+5^6+\cdots$ מתכנס וסכומו $S=\frac{1}{1-5^2}=-\frac{1}{24}$. לכן הסכום לעיל מתכנס לתוצאה $4+5\cdot S+3\cdot 5^2\cdot S=4-\frac{80}{24}=\frac{2}{3}$.

השבר המצומצם $\frac{a}{b}$ הוא שלם p־אדי אם ורק אם $p$ אינו מחלק את המכנה $b$. למספרים שלמים רבים יש שורש p־אדי. למשל

$\sqrt{7}=1+3+3^2+2\cdot 3^4+2\cdot 3^7+3^8+\cdots$

(ביטוי זה אינו מחזורי). כאשר $p\ne 2$ ו־$a$ מספר שלם חופשי מריבועים וזר ל־$p$, יש ל־$a$ שורש p־אדי אם ורק אם $a$ הוא שארית ריבועית מודולו $p$. בין המספרים ה־p־אדיים לא ניתן להגדיר יחס סדר, מכיוון שלמספר השלילי $1-p^3$ תמיד יש שורש p־אדי.

חשיבותם של המספרים ה־p־אדיים היא בכך שניתן להגדיר ביניהם פעולות של חיבור וכפל המחקות את אלה של המספרים הרציונליים. הרחבה זו של הפעולות אפשרית מכיוון שהביטוי ה־p־אדי נמשך לאינסוף רק בכיוון אחד. על ביטויים מאותו סוג הנמשכים לאינסוף לשני הכיוונים לא ניתן להגדיר פעולת כפל סבירה, והם חסרי ערך מתמטי.

הגישה האלגברית

ניתן להגדיר מספר p־אדי כסדרה הבאה:

$x=(\dots ,x_n,\dots ,x_1)=(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$

כך שלכל $n\ge 1$ מתקיים $x_n\in \mathbb{\mathbb{Z}}/p^n\mathbb{\mathbb{Z}}$ (כלומר: כל אבר או רכיב בסדרה שייך לחוג הסופי של השלמים מודולו $p$). כמו כן, על רכיביה להתאים אחד לשני באופן הבא:

• הם מקיימים $\mathrm{\forall }n\le m:x_n=x_{m}mod{p}^n$
• או באופן שקול, המעבר מ־$x_n$ ל־$x_{n-1}$ נעשה על ידי $x+p^n\mapsto x+p^{n-1}$.

נסתכל בקבוצת כל הסדרות הנ"ל, קבוצה זו נקראת גבול הפוך או גבול פרויקטיבי. עבור $p$ ראשוני נתון, הגבול ההפוך הוא קבוצת המספרים ה־p־אדיים ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$. אפשר להפוך קבוצה זו לחוג על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל. זה נעשה באופן הבא:

• חיבור: $x+y=(\dots ,x_n,\dots ,x_1)+(\dots ,y_n,\dots ,y_1)=(\dots ,x_n+y_n,\dots ,x_1+y_1)$
• כפל: $x\cdot y=(\dots ,x_n,\dots ,x_1)\cdot (\dots ,y_n,\dots ,y_1)=(\dots ,x_n{y}_n,\dots ,x_1{y}_1)$

למעשה, מחברים וכופלים מספרים p־אדיים על ידי חיבור וכפל אבר־אבר (לפי רכיבים: $x_n+y_n,x_n\cdot y_n\in \mathbb{\mathbb{Z}}/p^n\mathbb{\mathbb{Z}}$).

זהו חוג עם אפס $0=(\dots ,0,0)$ ויחידה $1=(\dots ,1,1,1)$. יתרה מזו, זהו גם תחום שלמות ולכן ניתן לבנות את שדה השברים על ידי לוקליזציה. שדה זה נקרא "שדה המספרים ה-p-אדיים" ומסומן ${\mathbb{\mathbb{Q}}}_p$.

גישה זו שימושית באלגברה מופשטת ובתורת המספרים, למשל בחישוב פתרון של משוואה פולינומית מעל חוג ה־p־אדיים באמצעות למת הנזל.

מעבר בין ההצגה כטור חזקות להצגה כגבול הפוך

נתון $p$ ראשוני, ונרשום שלם p־אדי כטור חזקות וכסדרה של גבול הפוך:

$(\dots ,x_n,\dots ,x_1)=a_0+a_{1}p+a_2{p}^2+a_3{p}^3+\cdots$

כדי לעבור מטור חזקות לסדרה יש לקחת סכומים חלקיים באופן הבא:

$x_{n+1}=\sum _{k=0}^n{a}_k{p}^k$

בכיוון השני, אפשר להשתמש בחישוב רקורסיבי באופן הבא:

$\begin{array}{rcl}{a}_0& =& x_1\\ a_1& =& \frac{x_2-x_1}{p}\\ a_2& =& \frac{x_3-x_2}{p^2}\\ a_3& =& \frac{x_4-x_3}{p^3}\\ & ⋮& \\ a_n& =& \frac{x_{n+1}-x_n}{p^n}\\ & ⋮& \end{array}$

או בנוסחה מפורשת:

$a_n=\frac{x_{n+1}-x_n}{p^n}=x_{n+1}\text{div}{p}^n$

כאשר div הוא חילוק שלם, כלומר: לקיחת החלק השלם וזריקת השארית (למשל: $8\text{div}3=(2+3\cdot 2)\text{div}3=2$).

שדה המספרים וחוג השלמים ה־p־אדיים

קבוצת המספרים ה־p־אדיים מרכיבה שדה, הנקרא שדה המספרים ה-p-אדיים. אוסף השלמים ה־p־אדיים ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$ מהווה חוג מקומי בשם חוג השלמים ה-p-אדיים, המתייחס אל שדה המספרים ה־p־אדיים באותו יחס שיש בין חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים. לשדה המספרים ה־p־אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר האריתמטיקה של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים. למשל, כדי להוכיח שלמשוואה דיופנטית אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות p־אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה־p־אדיים, זוהי לעיתים קרובות משימה קלה בהרבה.

כחבורה חיבורית, חוג השלמים ה־p־אדיים הוא גבול פרויקטיבי של החבורות הציקליות מסדר $p^n$. אוסף ההעתקות הרציפות מ־${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$ למעגל היחידה המרוכב הוא החבורה החליקה $\mathbb{\mathbb{Z}}[1/p]/\mathbb{\mathbb{Z}}=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{p}^{-n}\mathbb{\mathbb{Z}}/\mathbb{\mathbb{Z}}$.

ראו גם

• שדה המספרים ה-p-אדיים
• חוג השלמים ה-p-אדיים

קישורים חיצוניים

• מספר p-אדי, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• אנדרו בייקר, הרצאות בקורס על מבוא למספרים p־אדים, אוניברסיטת גלאזגו, סקוטלנד, 2011

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0