חוג (מבנה אלגברי)

במתמטיקה, חוג הוא מבנה אלגברי בעל שתי פעולות בינאריות, המקיימות מספר אקסיומות (שיפורטו להלן), המכלילות כמה תכונות בסיסיות של חוג המספרים השלמים ושל חוג המטריצות מעל שדה.

תורת החוגים, העוסקת במבנה של חוגים שונים, היא מן התחומים המרכזיים באלגברה.

הגדרה ומבנים יסודיים

חוג הוא מבנה הכולל קבוצה $\ R$ עם שתי פעולות בינאריות המסומנות "+" ו-"*", המקיימות מספר אקסיומות:

1. R היא חבורה אבלית ביחס לחיבור, כלומר: החיבור אסוציאטיבי וקומוטטיבי, יש איבר אפס, ולכל איבר יש נגדי.
2. R הוא מונואיד ביחס לכפל, כלומר: הכפל אסוציאטיבי ויש לו איבר יחידה.
3. הכפל דיסטריבוטיבי ביחס לחיבור (כלומר $\ x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ וכן $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$).

אם פעולת הכפל גם היא חילופית, החוג נקרא "חוג חילופי". לדוגמה, חוג המספרים השלמים חילופי, אך חוג המטריצות אינו חילופי.

קיום איבר יחידה

מבנה אלגברי שבו מתקיימות כל האקסיומות, פרט לקיומו של איבר יחידה, נקרא "חוג בלי יחידה". לעיתים משתמשים בטרמינולוגיה הפוכה, וחוג מציין מבנה המקיים את האקסיומות לעיל ללא איבר היחידה. באנגלית מקובל גם הסימון rng לציון חוג בלי יחידה (לעומת ring לציון חוג). ייתכן שבחוג-בלי-יחידה תהיה "יחידה-משמאל" (איבר e המקיים $\ ex=x$ לכל x), ואף יחידות-משמאל רבות; או יחידה-מימין, ואף יחידות-מימין רבות; אבל אם יש גם יחידה-מימין וגם יחידה-משמאל, אז יש לחוג איבר יחידה אחד ויחיד.

הגדרה אקסיומטית ראשונה של חוג ניתנה בשנת 1914 על ידי אברהם הלוי פרנקל, בהשפעת הגישה האקסיומטית של שטייניץ לשדות, האסכולה האמריקאית של א.ה. מור, ובעיקר עבודתו תחת קורט הנזל על שדה המספרים ה-p-אדיים. האקסיומות של פרנקל תארו מה שמוכר היום כחוג עם יחידה, שבו כל איבר רגולרי הוא הפיך ("חוג קלאסי"), וכך שלכל שני אברים a,b יש איברים רגולריים u,v כך ש-ab=bau=vba. ב-1921 פרסמה אמי נתר מאמר פורץ דרך, ובו נתנה את ההגדרה המקובלת כיום לחוג חילופי. אחד ההבדלים בין פרנקל לנתר הוא בשאלה האם נדרש איבר יחידה לכפל. פרנקל דרש זאת, ואילו נתר לא דרשה זאת. עד לשנות ה-60 הייתה מקובלת במרבית ספרי האלגברה גישתה של נתר, אך החל ממועד זה הלכו והתרבו הספרים, בפרט ספרים מתקדמים מאת מחברים נודעים כאמיל ארטין, מייקל עטייה ואיאן מקדונלד, ניקולא בורבאקי וסרז' לאנג, שקיבלו את גישתו של פרנקל. עם זאת, עדיין נפוצים ספרים המתבססים על גישתה של נתר.

הומומורפיזמים ואידאלים

פונקציה $\ f:A\rightarrow B$ מחוג לחוג היא "הומומורפיזם של חוגים", אם היא שומרת על החיבור והכפל ועל איבר היחידה. הגרעין של הומומורפיזם הוא אידאל של החוג A, ו"משפט האיזומורפיזם הראשון" קושר את החוגים שהומומורפיזם מגדיר באופן טבעי: $\ A/\operatorname {Ker} (f)\cong \operatorname {Im} (f)$.

תת־חוגים

תת-קבוצה של חוג $\ S\subset R$ שהיא חוג בפני עצמה, ביחס לאותן פעולות וקבועים, נקראת "תת־חוג". למשל, חוג המספרים השלמים הוא תת־חוג של שדה המספרים הרציונליים (המהווה שדה שברים שלו). אפשר להגדיר גם תת־חוג-בלי-יחידה, שממנו אין דורשים להכיל איבר יחידה. למשל, אוסף המספרים הזוגיים הוא תת־חוג-בלי-יחידה של חוג המספרים השלמים. למשל, המרכז של חוג, הכולל על-פי ההגדרה את כל האיברים $\ c\in R$ המקיימים $\,c\cdot r=r\cdot c$ לכל $\ r\in R$, הוא תת־חוג קומוטטיבי של החוג (אם כי יכולים להיות לחוג תת־חוגים קומוטטיביים גדולים יותר).

בניות של חוגים

תורת החוגים עשירה בדרכים לבנות חוגים חדשים. בין הפשוטות והמוכרות ביותר:

מכפלה

המכפלה של שני חוגים $R,S$ היא מכפלה קרטזית $R\times S$ עם הפעולות על הרכיבים. משפט השאריות הסיני קובע כי המנה של חוג נתון מעל מכפלת אידאלים קו־מקסימליים שלו איזומורפית למכפלת המנות.

ביתר כלליות, ניתן להגדיר מכפלה של כל משפחת חוגים $\{R_{i}\}_{i\in I}$ כקבוצה $\prod _{i\in I}{R_{i}}$ עם פעולות רכיב רכיב. מהמכפלה ניתן להגדיר הטלות $p_{i}$ לכל אחד מהחוגים המשתתפים בה, אך אי אפשר לשכן אותם באופן טבעי במכפלה – ההעתקה המעבירה איבר לקואורדינטה המתאימה לו איננה הומומורפיזם, שכן איננה שומרת יחידה. המכפלה מקיימת את התכונה האוניברסלית הבאה: אם $S$ חוג כלשהו, ונתונות העתקות $\{f_{i}:R_{i}\to S\}$ , אז קיים ויחיד הומומורפיזם $f:\prod _{i\in I}{R_{i}}\to S$ המקיים $p_{i}\circ f=f_{i}$ . כלומר, כל הומומורפיזם מכל החוגים "עובר דרך" המכפלה.

במקרה של מכפלה סופית, יש התאמה מוחלטת בין האידאלים של החוגים לאידאלים של המכפלה – כל אידאל של המכפלה הוא בהכרח מהצורה $I_{1}\times ...\times I_{t}$ , כאשר $I_{i}$ אידאל של $R_{i}$. במקרה האינסופי אין זה נכון (יש עוד אידאלים). יש גם התאמה בין הספקטרום של המכפלה הסופית לספקטרום של החוגים - אידאל במכפלה הוא ראשוני אם ורק אם הוא מהצורה $R_{1}\times ...\times R_{j-1}\times I_{j}\times R_{j+1}\times ...\times R_{t}$ , כאשר $I_{j}$ אידאל ראשוני של $I_{j}$ .

פולינומים

ערך מורחב – חוג פולינומים

לכל חוג $R$ , אוסף הפולינומים במשתנה בלתי־תלוי $x$ עם מקדמים מ־$R$ הוא חוג, ביחס לפעולות החיבור והכפל של פולינומים, המסומן $R[x]$ . הוא מכיל את R כתת־חוג. את הבניה הזו אפשר להכליל למספר כלשהו של משתנים – לאו דווקא סופי או בן מניה, אך הפולינומים סופיים. אם F שדה, אז $\ F[x]$ הוא חוג אוקלידי ותחום ראשי, וגם ההפך נכון.

מנה

ערך מורחב – חוג מנה

בהינתן חוג R ואידאל (שמאלי) I, למנה R/I יש מבנה של חוג. בדרך זו אפשר לבנות חוגים רבים נוספים. לדוגמה, כל חוג קומוטטיבי הוא מנה של חוג פולינומים במספר (אולי אינסופי) משתנים מעל חוג השלמים Z.

חוגי מנה הם הבסיס בדרך להבנת משפטי האיזומורפיזם של חוגים, ויש להם תפקיד בסיסי ומרכזי בתאוריה.

מטריצות

ערך מורחב – חוג מטריצות

חוג מטריצות $\ \operatorname {M} _{n}(R)$ מורכב מן המטריצות מסדר n שרכיביהן שייכים ל- R, יחד עם פעולות החיבור רכיב-רכיב וכפל המטריצות, המושרות מפעולות החוג. גם כאן, אפשר לזהות את R עם תת-החוג הכולל את המטריצות הסקלריות. החוג הזה לעולם אינו קומוטטיבי (אלא אם n=1), איננו חוג עם חילוק ואף בעל נילפוטנטים. יש התאמה מלאה בין האידאלים של R לאידאלים של חוג המטריצות מעליו, ולכן, כאשר R חוג פשוט, גם החוג $\ \operatorname {M} _{n}(R)$ פשוט. אם D הוא חוג עם חילוק, אז חוג מטריצות מעליו הוא ארטיני ופשוט. ההפך נכון לפי משפט ודרברן-ארטין.

דוגמאות

• כל שדה הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה.
• חוג המספרים השלמים $\mathbb {Z}$ הוא חוג קומוטטיבי. זהו תחום שלמות אוקלידי. חוג השלמים הוא חוג קומוטטיבי בסיסי ביותר, המהווה דוגמה ומוטיבציה להגדרות רבות בתורת החוגים, כמו בתורת המספרים האלגברית.
• חוג השלמים של גאוס מהווה אף הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה.
• אוסף הפונקציות הממשיות, עם חיבור וכפל של פונקציות, מהווה חוג חילופי. איבר בו הוא הפיך אם ורק אם איננו מתאפס (כפונקציה). אוסף הפונקציות הממשיות הרציפות גם הוא חוג, המהווה תת-חוג של אוסף הפונקציות.
• אלגברת הקווטרניונים של המילטון היא הדוגמה הבסיסית ביותר לחוג עם חילוק (שאיננו קומוטטיבי). באופן כללי, כל אלגברה עם חילוק מממד 4 מעל שדה כלשהו היא אלגברת קווטרניונים.

תורת המבנה

תורת המבנה של החוגים האסוציאטיביים התפתחה באינטנסיביות במהלך המאה ה-20, עם קפיצות מדרגה בשנות ה-30 (פיתוח תורת הרדיקלים) ושנות ה-60 (משפטי גולדי). כיום מזוהים בספרות המקצועית מאות משפחות של חוגים, שביניהן אפשר למנות: חוגים ארטיניים, נתריים, ראשוניים, פרימיטיביים ופשוטים, תחומי שלמות, ועוד רבים אחרים.

ראו גם

• מודול