פונקציה רציפה (אנליזה)

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

18892142תבנית:סימון מתמטי

פונקציית הסינוס רציפה בכל נקודה

פונקציית המדרגה אינה רציפה בנקודה x=0

בחשבון אינפיניטסימלי, רציפות היא תכונה חשובה של פונקציה ממשית. באופן אינטואיטיבי (אך לא מדויק) פונקציה רציפה היא פונקציה שאפשר לצייר את הגרף שלה מבלי להרים את העיפרון מהדף. רעיונות דומים מופיעים באופן כללי יותר במרחבים מטריים ואפילו מרחבים טופולוגיים כלליים – ראו פונקציה רציפה (טופולוגיה).

הגדרות

פונקציה רציפה בנקודה אם יש לה גבול באותה נקודה והוא שווה לערך הפונקציה. לפיכך, כמו בהגדרת גבול ניתן להגדיר רציפות בשתי גישות שונות.

תהי $f$ פונקציה המקבלת ומחזירה ערכים ממשיים, המוגדרת בסביבה של $a$ .

נוסח ראשון (בלשון $\varepsilon ,\delta$ – ויירשטראס):

הפונקציה $f$ רציפה בנקודה $a$ אם לכל $\varepsilon >0$ (קטן כרצוננו) קיים $\delta >0$ כך שלכל $|x-a|<\delta$ מתקיים ${\Big |}f(x)-f(a){\Big |}<\varepsilon$ .

נוסח שני (בלשון סדרות – היינה):

הפונקציה $f$ רציפה בנקודה $a$ אם לכל סדרה $x_{n}\to a$ מתקיים $f(x_{n})\to f(a)$ .

כאמור לעיל, שתי ההגדרות להתכנסות שקולות. אם הן מתקיימות, מסמנים $\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$ .

פעולות בין פונקציות

• סכום והפרש של שתי פונקציות רציפות הן פונקציות רציפות (דהיינו, בכל נקודה בה שתי הפונקציות רציפות, גם פונקציות הסכום וההפרש רציפות).
• מכפלה של שתי פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה.
• מנה של שתי פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה בתחום הגדרתה, דהיינו בכל נקודה בה הפונקציה במכנה אינה מתאפסת.
• הרכבת פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה.

רציפות בקטע

אם פונקציה היא רציפה בכל נקודה $a$ בקטע, אומרים שהיא רציפה בקטע. במקרה כזה מותר למהירות שבה מתקרבים הערכים של $f(x)$ לערכים של $f(a)$ (כשהיא נמדדת בגודל של $\delta$ עבור $\varepsilon$ נתון) להיות תלויה ב-$a$ . הפונקציה רציפה במידה שווה אם לכל $\varepsilon >0$ אפשר לבחור את $\delta$ באופן שאינו תלוי ב-$a$ ; זוהי תכונה חזקה יותר. מאידך, לפי משפט קנטור, אם פונקציה רציפה בכל נקודה של קטע סגור (ובאופן כללי יותר קבוצה קומפקטית במרחב מטרי), אז היא רציפה במידה שווה.

מקובל לומר שפונקציה רציפה היא פונקציה בקטע ש"אפשר לצייר בלי להרים את העפרון מהדף". תיאור זה נכון לפונקציות רציפות במידה שווה, אבל סתם פונקציה רציפה (המוגדרת על קטע סופי שאינו סגור) עלולה להיות בעלת אורך אינסופי בקטע; למשל הפונקציה $f(x)=\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ בקטע $(0,1]$ .

תכונות של פונקציות רציפות

• משפט ויירשטראס הראשון אומר כי כל פונקציה שרציפה בקטע סגור חסומה בקטע.
• משפט ויירשטראס השני אומר שפונקציה שרציפה בקטע סגור מקבלת בו את המקסימום והמינימום שלה.

שני המשפטים נכונים באופן כללי יותר, עבור פונקציה ממשית רציפה המוגדרת על קבוצה קומפקטית (בכל מרחב טופולוגי).

• משפט ערך הביניים אומר כי פונקציה רציפה בקטע מקבלת כל ערך שבין הערכים אותם היא מקבלת בקצות הקטע.
• פונקציה רציפה בקטע סגור אינטגרבילית בו.
• רציפות בנקודה היא תנאי הכרחי (אך לא מספיק) לקיום נגזרת באותה נקודה.

נקודות אי־רציפות

ערך מורחב – נקודת אי-רציפות

נקודה שבה הפונקציה אינה רציפה נקראת נקודת אי־רציפות. ניתן למיין את נקודות אי־הרציפות לשלושה סוגים:

1. אי־רציפות סליקה: יש לפונקציה גבול בנקודה אך ערך הפונקציה שם שונה מן הגבול, או שהפונקציה כלל אינה מוגדרת באותה נקודה.
2. אי־רציפות מהסוג הראשון: אין בנקודה גבול, אך קיימים גבולות חלקיים. למשל, אם הפונקציה היא פונקציה ממשית במשתנה יחיד, קיים הגבול מימין, וקיים הגבול משמאל, אך הם שונים זה מזה.
3. אי־רציפות מהסוג השני: לפחות אחד מהגבולות, משמאל או מימין, אינו קיים.

אפיון קבוצת נקודות הרציפות של פונקציה

אם $f:\mathbb {X} \to \mathbb {Y}$ פונקציה, כאשר $\mathbb {X} ,\mathbb {Y}$ מרחבים מטריים, אזי קבוצת נקודות הרציפות של $f$ היא קבוצת $G_{\delta }$ , דהיינו חיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות. ממשפט הקטגוריה של בייר ניתן להראות שקבוצת המספרים הרציונליים אינה קבוצת $G_{\delta }$ , ולכן אין פונקציה ממשית שרציפה רק במספרים הרציונליים, ואינה רציפה במספרים האי־רציונליים.

דוגמאות

• כל פולינום הוא פונקציה רציפה.
• הפונקציה ערך מוחלט היא רציפה בכל מקום, אך לא גזירה בנקודה $x=0$ .
• פונקציה מעריכית היא פונקציה רציפה (וגזירה אינסוף פעמים).
• סינוס וקוסינוס הן פונקציות רציפות (וגזירות אינסוף פעמים).
• פונקציית מדרגה (המחזירה 1 למספרים חיוביים ו־0 למספרים שליליים) איננה רציפה בנקודה $x=0$ .
• פונקציית הערך השלם (המחזירה את הערך הגדול ביותר מבין כל המספרים השלמים הקטנים או שווים ל־$x$) אינה רציפה לכל $x$ שלם.
• פונקציית דיריכלה אינה רציפה באף נקודה על הישר.
• פונקציית רימן רציפה בכל הנקודות האי־רציונליות ואינה רציפה בכל הנקודות הרציונליות.

ראו גם

• רציפות במידה שווה
• נגזרת