סינגולריות סליקה

באנליזה מרוכבת, סינגולריות סליקה של פונקציה הולומורפית היא נקודה שבה הפונקציה אינה מוגדרת (או לא הולומופית), אך ניתן להגדיר מחדש את הפונקציה בנקודה זו באופן שהפונקציה המתקבלת תהיה פונקציה הולומורפית בנקודה זו.

באופן פורמלי, אם $U\subset \mathbb{ℂ}$ היא תת-קבוצה פתוחה של המישור המרוכב $\mathbb{ℂ}$, $a\in U$ נקודה של $U$, ו $f:U\setminus \{a\}\to \mathbb{ℂ}$ היא פונקציה הולומורפית, אז $a$ נקראת סינגולריות סליקה עבור $f$ אם קיימת פונקציה הולומורפית $g:U\to \mathbb{ℂ}$ אשר שווה ל $f$ ב $U\setminus \{a\}$. ניתן גם לומר ש $f$ ניתן להרחבה הולומורפית על פני $U$ אם קיימת $g$ כזו.

משפט רימן

משפט רימן על סינגולריות סליקה מסביר שניתן להגדיר סינגולריות סליקה על ידי ארבעה תנאים שקולים:

תהי $D\subset \mathbb{ℂ}$ תת-קבוצה פתוחה של המישור המרוכב ותהי $a\in D$ נקודה של $D$ ו- $f$ פונקציה הולומורפית בקבוצה $D\setminus \{a\}$. אזי התנאים שלהלן שקולים:

1. $f$ ניתנת להרחבה הולומורפית מעל $a$.
2. $f$ ניתנת להרחבה רציפה מעל $a$.
3. קיימת סביבה של $a$ שעליה $f$ היא חסומה.
4. $\underset{z\to a}{\lim }(z-a)f(z)=0$.

בהינתן תנאים אלו ובהינתן ש-$a$ היא נקודת סינגולריות נאמר שסוג הסינגולריות ב-$a$ היא סליקה. היות שהתנאים שקולים, כל אחד מהם יכול להיות הגדרה טובה לסינגולריות סליקה.

הוכחה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

ראו גם

• אי רציפות סליקה

קישורים חיצוניים

• סינגולריות סליקה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

סינגולריות סליקה41581501Q1974087