קוטב (אנליזה מרוכבת)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Crystal Clear app help index.svg
ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים.

אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים.
אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים.

אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים.
אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

באנליזה מרוכבת, קוטב של פונקציה מרוכבת הוא סוג מסוים של נקודת סינגולריות של הפונקציה (הסוגים האחרים הם סינגולריות סליקה וסינגולריות עיקרית). קוטב היא נקודה, בה הפונקציה שואפת לאינסוף בערכה המוחלט.

הגדרה פורמלית

נקודה היא קוטב של פונקציה מרוכבת , אם הפונקציה אנליטית בסביבה מנוקבת של הנקודה, ומתקיים .

המספר n הקטן ביותר שעבורו הגבול קיים, נקרא הסדר של הקוטב. מספר זה תמיד קיים, והגבול עבורו שונה מאפס. קוטב מסדר 1 נקרא קוטב פשוט. עבור קוטב פשוט, השארית של הקוטב מוגדרת להיות הגבול .

תכונות של קטבים

הפונקציה ניתנת לפיתוח לטור לורן סביב קוטב מסדר סופי, כאשר הפיתוח מתחיל מהחזקה השלילית . כלומר, . באופן שקול, יש כך שלפונקציה יש נקודה סינגולרית סליקה ב- .

הגבול , עבור מקבל את הערכים הבאים:

  1. אם .
  2. אם .
  3. אם .

דוגמאות

  1. לפונקציה קיים קוטב מסדר בנקודה .
  2. לפונקציה קיים קוטב מסדר בנקודה . כדי להיווכח בזה די לזכור שהפיתוח לטור טיילור של הוא: , ולכן .
  3. לפונקציה אין קוטב בנקודה אלא סינגולריות עיקרית.

כשמרחיבים את ההגדרה של פונקציה מרוכבת אל הקומפקטיפיקציה של המישור המרוכב (כלומר, מוסיפים להגדרה את נקודת האינסוף, כמו בספירת רימן), הנקודה נחשבת לקוטב של מאותו סוג וסדר של הקוטב בפונקציה .

מונחים קשורים

פונקציה מרוכבת שכל נקודות הסינגולריות שלה הן קטבים נקראת פונקציה מרומורפית.

קישורים חיצוניים

  • קוטב, באתר MathWorld (באנגלית)
Logo hamichlol 3.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0