פולינום אופייני

באלגברה לינארית, מתאימים לכל מטריצה ריבועית פולינום שנקרא הפולינום האופייני, והוא מקודד כמה תכונות חשובות של המטריצה.

אם $A$ היא מטריצה ריבועית מסדר n, הפולינום האופייני שלה מוגדר כפולינום $f(\lambda )=|\lambda I-A|$, כאשר $I$ היא מטריצת היחידה ו- $|\cdot |$ מסמן את הדטרמיננטה. זהו פולינום שמעלתו שווה לגודל המטריצה, ושורשיו הם הערכים העצמיים שלה.

כשכותבים $f_A(\lambda )={\lambda }^n-t_1{\lambda }^{n-1}+t_2{\lambda }^{n-2}\pm \dots +(-1{)}^n{t}_n$, המקדם החופשי של הפולינום האופייני הוא $t_n=|A|$, ואילו $t_1$ שווה לעקבה של $A$. באופן כללי יותר, מקדמי הפולינום הם פונקציות סימטריות של הערכים העצמיים.

התכונה החשובה ביותר של הפולינום האופייני נתונה במשפט קיילי-המילטון, שלפיו A מאפסת את הפולינום האופייני שלה, כלומר $f_A(A)=A^n-t_1{A}^{n-1}+\dots +(-1{)}^n{t}_{n}I=0$. לכן הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני.

לשתי מטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני, אם כי ההיפך אינו תמיד נכון (אפילו מעל שדה סגור אלגברית).

ראו גם

• מטריצה
• פולינום מינימלי
• ערך עצמי
• דמיון מטריצות
• צורת ז'ורדן

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0