חוג השלמים של גאוס

מספרים שלמים של גאוס כנקודות סריג במישור המרוכב

חוג השלמים של גאוס הוא אוסף המספרים $\mathbb{\mathbb{Z}}[i]=\{a+bi:a,b\in \mathbb{\mathbb{Z}}\}$ כאשר $i$ היחידה המרוכבת ($i^2=-1$), היינו, מספרים מרוכבים בעלי קואורדינטות שלמות. אוסף זה, שהוא חוג המספרים השלמים בשדה $\mathbb{\mathbb{Q}}[i]$ , הוא חוג אוקלידי, ולכן יש בו פירוק יחיד לגורמים.

הנורמה מוגדרת על החוג הזה לפי הנוסחה $N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ , זוהי פונקציה כפלית, השווה לריבוע הערך המוחלט של מספרים מרוכבים. חוג השלמים של גאוס הוא אוקלידי ביחס לנורמה: לכל $x$ ולכל $y\ne 0$ קיים $r$ עבורו $N(x-ry)<N(y)$ . בזכות האוקלידיות אפשר לחשב מחלק משותף מקסימלי באמצעות אלגוריתם אוקלידס, ולכל מספר יש פירוק יחיד לגורמים ראשוניים.

הראשוניים של גאוס

כמו בכל תחום שלמות, איבר אי-פריק הוא איבר $x$ שאי-אפשר לפרק בלי שאחד הגורמים יהיה הפיך. מכיוון שזהו תחום פריקות יחידה, כל איבר אי-פריק $\pi$ הוא גם ראשוני (הוא אינו מחלק מכפלה בלי לחלק את אחד הגורמים שלה).

לא כל מספר ראשוני במובן הרגיל של המלה נשאר ראשוני גם בחוג השלמים של גאוס. למשל, $5=(2+i)(2-i)$ , ולכן 5 פריק ואינו ראשוני. עם זאת, אם $\pi$ ראשוני אז הנורמה שלו $\pi \overline{\pi }$ היא או מספר ראשוני, במובן הרגיל של המלה, או ריבוע של מספר כזה (אכן, $\pi$ מחלק את אחד הגורמים הראשוניים של המספר השלם $\pi \overline{\pi }$ , נאמר $\pi |p$ , ואז גם $\overline{\pi }|p$ ולכן $\pi \overline{\pi }|p^2$). מכאן מתקבלת חלוקה של הראשוניים, עד כדי כפל באיבר הפיך, לשלוש קבוצות:

• אלו המחלקים את 2: זהו הראשוני $1+i$ (הגורם השני $1-i$ נוצר מהכפלת הראשון באיבר הפיך $-i$).
• אלו המחלקים ראשוני רציונלי $p$ השקול ל-1 מודולו 4: לפי משפט של פרמה, כל ראשוני כזה הוא סכום של שני ריבועים $p=a^2+b^2$ , ואז $a\pm bi$ הם שני הגורמים הראשוניים של $p$ .
• הראשוניים הרציונליים השקולים ל-3 מודולו 4.

תורת המספרים האלגברית לומדת בין השאר את הפירוק של אידאלים ראשוניים של $\mathbb{\mathbb{Z}}$ בחוג הגדול יותר $\mathbb{\mathbb{Z}}[i]$ . בהתאמה לשלוש הקבוצות של ראשוניים שהוזכרו לעיל, 2 הוא ראשוני מסועף, עם $e=2$ (ראו e, f ו-g); לראשוניים השקולים ל-1 מודולו 4 יש $g=2$ ; ולראשוניים הנותרים יש $f=2$ . למשוואה $x^2+1\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ יש פתרון אם ורק אם $f=1$ , כלומר בשני המקרים הראשונים.

ראו גם

• חוג השלמים של אייזנשטיין