טור לורן

במתמטיקה, ובפרט באנליזה מרוכבת, טור לורן (על שם המתמטיקאי פייר אלפונס לורן) הוא טור מהצורה $\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ , כלומר טור חזקות שבו מופיעות גם חזקות שליליות.

טור לורן מהווה הכללה של טור טיילור, וניתן להשתמש בו כדי לתאר מספר רב יותר של פונקציות מאשר באמצעות טור טיילור – בעיקר עוסקים בו לתיאור פונקציות מרוכבות. כל פונקציה אנליטית בטבעת ניתנת בה לפיתוח כטור לורן (להבדיל מפונקציות שאנליטיות בעיגול, ואותן ניתן להציג באמצעות טור טיילור).

באופן כללי, כל טור מפותח סביב נקודה כלשהי. אם הטור מפותח סביב הנקודה $c$ אז צורתו תהיה $\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n$ .

כאשר פונקציה מפותחת לטור לורן סביב נקודת סינגולריות מבודדת שלה (הדבר אפשרי כי בסביבה מנוקבת של נקודת סינגולריות מבודדת הפונקציה אנליטית) נקבע סוג נקודת הסינגולריות לפי מספר החזקות השליליות בפיתוח לורן:

• אם אין כלל חזקות שליליות בפיתוח לורן (כלומר, זהו בעצם פיתוח טיילור) – הנקודה היא סליקה.
• אם יש מספר סופי של חזקות שליליות, הנקודה היא קוטב.
• אם יש אינסוף חזקות שליליות, הנקודה היא נקודת סינגולריות עיקרית.

חלקו של הטור שמכיל את החזקות השליליות נקרא החלק העיקרי של הטור.

דוגמאות

• נביט בפונקציה $\frac{1}{1-z}$ . בעיגול $|z|<1$ קיים לה פיתוח טיילור: $\frac{1}{1-z}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n$ (זהו טור גאומטרי מתכנס).

אנו רוצים לראות כיצד ניתן לתאר את הפונקציה גם "מעבר" לעיגול הזה. נשים לב כי

$\frac{1}{1-z}=-\frac{1}{z}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}\cdot \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{z}\right)}^n=-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{z^{n+1}}=-\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{-1}{z}^n$

גם פיתוח זה התבסס על ההכרה שלנו את נוסחת הטור ההנדסי המתכנס. במקרה זה הפעלנו אותה על הפונקציה $\frac{1}{1-\frac{1}{z}}$ ולכן הפיתוח מתכנס בתחום $\left|\frac{1}{z}\right|<1$ , כלומר עבור $|z|>1$ . הטבעת של המישור כולו, פרט לעיגול היחידה.

• נתבונן בפונקציה $f(z)=\frac{\sin (z)}{z^2}$ . ניעזר בטור טיילור של פונקציית הסינוס, ונקבל פיתוח לורן ל-$f$ סביב 0:

$f(z)=\frac{\sin (z)}{z^2}=\frac{z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots }{z^2}=\frac{1}{z}-\frac{z}{3!}+\frac{z^3}{5!}-\frac{z^5}{7!}+\cdots$