שחלוף (מתמטיקה)

באלגברה לינארית, שחלוף (לפעמים גם חילוף; אנגלית: Transpose) הוא פעולת ההחלפה בין השורות והעמודות של מטריצה נתונה. הפעולה מקבלת מטריצה בת n שורות ו-m עמודות, ומחזירה מטריצה בת m שורות ו-n עמודות, שבמקום ה-(i,j) שלה נמצא האיבר ה-(j,i) של המטריצה המקורית. השחלוף הוא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג ראשון. מטריצה ריבועית שפעולת השחלוף אינה משנה אותה נקראת מטריצה סימטרית.

השחלוף A^T של מטריצה A יכולה להתקבל על ידי שיקוף של מקדמי המטריצה לאורך האלכסון הראשי. חזרה על הפעולה מחזירה את המקדמים למקומם המקורי.

הגדרה פורמלית

תהא $A$ מטריצה מסדר $n\times m$. המטריצה המשוחלפת שלה, $A^t$ (מקובלים גם הסימונים $A^T,A^{\mathrm{\top }},{}^{t}A,A^{tr},A^{\prime }$) היא מטריצה מסדר $m\times n$ שמוגדרת כך: $(A^t{)}_{ij}=(A{)}_{ji}$, עבור כל $1\le i\le m,1\le j\le n$.

דוגמאות:

${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}^t=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$

${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^t=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

תכונות

פעולת השחלוף מהווה, כאמור, אינוולוציה מסוג ראשון. פירושו של דבר הוא שהפעולה שומרת על החיבור ועל הכפל בסקלר, הופכת את פעולת הכפל, ויש לה סדר 2:

• $(A+B{)}^t=A^t+B^t$.
• $(\lambda A{)}^t=\lambda (A^t)$.
• $(AB{)}^t=B^t{A}^t$
• $(A^t{)}^t=A$

מן התכונות האלה נובע גם שאם $A$ הפיכה אז גם $A^t$ הפיכה ו-$(A^t{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^t$.

הדטרמיננטה של מטריצה זהה לזו של המטריצה המשוחלפת שלה. מכאן נובע שגם הפולינום האופייני של $A^t$ שווה לזה של $A$ , ולכן יש להן גם אותם ערכים עצמיים. יתרה מזו, כל מטריצה דומה למטריצה המשוחלפת שלה.

מטריצות מיוחדות הקשורות בשחלוף

מטריצה ריבועית $A$ נקראת סימטרית אם $A=A^t$, כלומר $A$ שווה למטריצה המשוחלפת שלה. $A$ נקראת אנטי-סימטרית אם $-A=A^t$.

אם $A$ היא מטריצה ריבועית הפיכה ומתקיים $A^{-1}=A^t$, אז $A$ נקראת מטריצה אורתוגונלית. כלומר, מטריצה ריבועית $A$ היא אורתוגונלית אם ורק אם $A{A}^t=A^{t}A=I$, כאשר $I$ היא מטריצת היחידה.

בדומה לפעולת השחלוף אפשר להגדיר גם פעולת הצמדה הרמיטית הכוללת בנוסף לשחלוף גם פעולת הצמדה של אברי השדה. הצמוד ההרמיטי של מטריצה $A$ מסומן $A^{*}$ וכאמור מוגדר לפי $(A^{*}{)}_{ij}=\overline{A_{ji}}$. אם $A$ מקיימת $A^{*}=A$, היא נקראת מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית בדיוק כאשר כל הרכיבים שלה ממשיים. בעניין זה, ראו גם אופרטור הרמיטי.

שחלוף של העתקה לינארית

ערך מורחב – מרחב דואלי#שחלוף של העתקה לינארית

אם $V$ ו-$W$ הם מרחבים וקטוריים מעל שדה $\mathbb{𝔽}$ ו-$T:V\to W$ היא העתקה לינארית, ההעתקה המשוחלפת שלה היא העתקה $T^t:W^{*}\to V^{*}$ בין המרחבים הדואליים של $W$ ו-$V$ המוגדרת באופן הבא:

$\left(T^{t}g\right)\left(v\right)=g\left(T\left(v\right)\right)$ לכל $v\in V$ ולכל $g\in W^{*}$.

זוהי העתקה לינארית ודרגתה שווה לדרגת $T$. הפונקציונל $T^{t}g$ מכונה לעיתים המשיכה לאחור של $g$ במקביל ל-$T$.

אם $V$ ו-$W$ הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים, $\mathfrak{𝔅}$ הוא בסיס סדור ל-$V$ עם בסיס דואלי ${\mathfrak{𝔅}}^{*}$, ${\mathfrak{𝔅}}^{\prime }$ הוא בסיס סדור ל-$W$ עם בסיס דואלי $\mathfrak{𝔅}{\text{'}}^{*}$ ו-$A$ היא המטריצה המייצגת של $T$ ביחס לבסיסים $\mathfrak{𝔅},{\mathfrak{𝔅}}^{\prime }$, אז המטריצה המייצגת של $T^t$ ביחס לבסיסים $\mathfrak{𝔅}{\text{'}}^{*},{\mathfrak{𝔅}}^{*}$ היא בדיוק $A^t$.