עקרון הארגומנט

באנליזה מרוכבת, עקרון הארגומנט מקשר בין מספר הקטבים והאפסים של פונקציה מרומורפית בתחום מסוים ובין השינוי בארגומנט שלה בעת מעבר על שפת התחום. עקרון זה הוא תוצאה חשובה של משפט השאריות.

ניסוח פורמלי

המסילה $\partial D$ (שחור), האפסים של $f$ (אדום), והקטבים של $f$ (כחול)

תהי $f$ פונקציה מרומורפית (בעלת מספר סופי של נקודות סינגולריות שכולן קטבים) בתחום $D$ ששפתו $\partial D$ היא מסילה פשוטה וסגורה, שעליה $f$ לא מקבלת אפסים וקטבים.

אזי מתקיים $\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\partial D}\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=N-P$, כאשר $N$ מספר האפסים של $f$ כולל ריבוי, ואילו $P$ מספר הקטבים של $f$ כולל ריבוי.

כמו כן $2\pi (N-P)=\mathrm{\Delta }\arg f$, כאשר $\mathrm{\Delta }\arg f$ גודל השינוי בארגומנט של $f$ כאשר היא מקיפה את התחום $D$ על גבי שפתו.

הוכחה

נשתמש במשפט השאריות. כדי לחשב את האינטגרל הנ.ל, די לחשב את סכום השאריות של הפונקציה $\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}$ בכל נקודות הסינגולריות שלה בתחום $D$.

מכיוון ש־$f$ מרומורפית, לפונקציה $\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}$ יכולים להיות רק שני סוגי נקודות סינגולריות: קטבים ואפסים של $f$.

באפס $a\in D$ מריבוי $n$ של $f$ מתקיים $f(z)=(z-a{)}^n\cdot g(z)$, כאשר $g(z)\ne 0$ והולומורפית בסביבה של $a$. לכן

$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(z)=n(z-a{)}^{n-1}g(z)+(z-a{)}^n{g}^{\prime }(z)\\ \frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}=\frac{n}{z-a}+\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}\end{array}$

המחובר הימני הוא פונקציה הולומורפית, ולכן בפיתוח לטור נקבל טור טיילור (כלומר מקדם השארית הוא 0). המחובר השמאלי הוא בדיוק האבר שהמקדם שלו בטור לורן הוא השארית, ולכן בסך הכל השארית של הפונקציה סביב $a$ היא $n$. כלומר: השארית סביב אפס כלשהוא היא הריבוי של אותו האפס.

עבור קוטב הרעיון דומה: בקוטב $b\in D$ מריבוי $m$ של $f$ מתקיים $f(z)=(z-b{)}^{-m}\cdot h(z)$, כאשר $h(z)\ne 0$ והולומורפית בסביבה של $b$. מתקיים

$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(z)=-m(z-b{)}^{-m-1}h(z)+(z-b{)}^{-m}{h}^{\prime }(z)\\ \frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}=\frac{-m}{z-b}+\frac{h^{\prime }(z)}{h(z)}\end{array}$

ולכן השארית שנקבל הפעם היא מינוס הריבוי של הקוטב.

על כן, סכום השאריות בכל הקטבים והאפסים יתן בדיוק את הפרש סכום ריבויי האפסים וסכום ריבויי הקטבים.

דוגמה

תהי $f(z)=\frac{(z+3)(z+1)}{z^2}$. נחשב את $\underset{|z|=2}{\int }\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz$.

נשים לב כי האפסים של $f$ הם $z=-1,-3$. מתוך האפסים האלו רק $z=-1$ נמצא בתוך העיגול $\{z:|z|=2\}$, כמו כן הוא ”אפס פשוט”. לכן $N=1$.

נשים לב גם כי יש ל־$f$ רק קוטב אחד והוא $z=0$. זהו קוטב מסדר שני ולכן $P=2$.

מסקנה (לפי עקרון הארגומנט): $\underset{|z|=2}{\int }\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=2\pi i(N-P)=2\pi i(1-2)=-2\pi i$

ראו גם

• משפט רושה