דטרמיננטה

איור הממחיש את ביטוי נפחו של מקבילון תלת ממדי בעזרת דטרמיננטה

באלגברה לינארית, הדֵּטֵרְמִינַנְטָה של מטריצה ריבועית, היא סקלר התלוי ברכיבי המטריצה, ושווה לאפס אם ורק אם המטריצה אינה הפיכה. יתרה מזו, כאשר הדטרמיננטה של מקדמי מערכת משוואות לינאריות שונה מאפס, נוסחת קרמר מחשבת ממנה ומהדטרמיננטה של מטריצה קרובה, את הפתרון היחיד של המערכת. את הדטרמיננטה מסמנים ב־$|A|$ או $\det(A)$.

הדטרמיננטה היא פונקציה כפלית (כלומר $\det(AB)=\det(A)\det(B)$), שיש לה גם משמעות גאומטרית: אם $A$ היא מטריצה ריבועית בעלת מקדמים ממשיים, אז הדטרמיננטה שלה שווה לנפחו (המכוון) של המקבילון (במרחב האוקלידי ה־$n$־ממדי), שקודקודיו הם עמודות המטריצה (ראו איור).

היסטוריה

הדטרמיננטות מופיעות, בצורה לא מפורשת, כבר בלוחות חרס בבליים מן המאה ה-2 לפנה"ס ואף לפני כן, שם נעשה בהן שימוש לפתרון מערכות של שתי משוואות לינאריות.

במאה ה-16 ניסח ג'ירולמו קרדאנו בעזרת דטרמיננטות את הפתרון למערכת של שתי משוואות בשני נעלמים; קרדאנו הציג גרסה מוקדמת ולא מלאה של נוסחת קרמר, עבור מטריצות בגודל $2\times 2$.

הנוסחה לדטרמיננטה של מטריצות גדולות יותר הופיע באירופה וביפן בו זמנית, ב־1683. ביפן פרסם טאקאקזו סקי קווה (1642–1708) הסבר על חישוב הדטרימננטה של מטריצות מספריות מסדר המגיע עד $5\times 5$, לצורך פתרון של משוואות שונות. באותה שנה, הציג לייבניץ את הנוסחה הכללית לחישוב דטרמיננטה מסדר $3\times 3$, במכתב למרקיז דה לופיטל.

נוסחת קרמר הופיעה לראשונה, עבור מטריצות בגודל $3\times 3$, בספר שפורסם ב־1748, כשנתיים לאחר מות המחבר קולין מקלורן. שנתיים אחר-כך פרסם גבריאל קרמר מאמר שבו תיאר בנספח, ללא הוכחה, את הכלל הנקרא על שמו עבור מטריצות בגודל כלשהוא.

לגראנז' הציג את הפירוש של דטרמיננטה (מסדר $3\times 3$) כאלמנט נפח, במאמר מ־1773 שעסק במכניקה. המונח דטרמיננטה מוצג לראשונה בספרו של גאוס על תורת המספרים; גאוס קרא לה כך משום שהיא קובעת (determines) את התכונות של התבניות הריבועיות שאותן חקר. עם זאת, הדטרמיננטה של גאוס אינה זהה להגדרה המקובלת היום. זו הופיעה בשם זה רק ב־1812, בעבודתו של קושי, שהוכיח לראשונה את הכלל החשוב $\det(AB)=\det(A)\det(B)$.

הנושא הבשיל בשלושה מאמרים שפרסם יעקבי ב־1841, בהם הוא הגדיר את הדטרמיננטה עבור מטריצה כללית ובאופן אלגוריתמי, שסייע לתפוצה הרחבה של הרעיון. את הסימון $|A|$ עבור הדטרמיננטה של $A$ הציע ארתור קיילי באותה שנה.

ב־1896 מיין פרדיננד גאורג פרובניוס את ההעתקות הלינאריות $T:{\text{M}}_{n}(F)\to {\text{M}}_{n}(F)$ השומרות על הדטרמיננטה (במובן ש־$\det {\bigl (}T(X){\bigr )}=\det(X)$ לכל מטריצה $X$), והראה שכולן מהצורה $T(X)=AXB$ או $T(X)=AX^{\text{tr}}B$.

הגדרה "אקסיומטית" של הדטרמיננטה, כתבנית (היחידה) שהיא מולטי־לינארית, אנטי־סימטרית ומנורמלת התגלתה על ידי קארל ויירשטראס, והתפרסמה ב־1903 לאחר מותו.

הגדרה

הדטרמיננטה של מטריצה בגודל $n\times n$ מוגדרת על־פי הנוסחה הבאה:

$\det(A)=\sum _{\sigma \,\in \,S_{n}}\left(\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{k\,=\,1}^{n}A_{k,\sigma (k)}\right)$

הסכום בנוסחה הוא על $n!$ התמורות $\sigma$ האפשריות של המספרים $\{1,\ldots ,n\}$. הסימן $\operatorname {sgn}(\sigma )$ מתקבל על פי־זוגיות התמורה:

$\operatorname {sgn}(\sigma )={\begin{cases}1&:\!\sigma {\text{ even}}\\-1&:\!\sigma {\text{ odd}}\end{cases}}$

הדטרמיננטה שווה, אם כן, לסכום כל המכפלות האפשריות לאורך אלכסונים מוכללים של המטריצה, עם סימנים מתחלפים.

לדטרמיננטה יש גם הגדרה אקסיומטית: אפשר לראות את הפונקציה $A\mapsto \det(A)$ כפונקציה של $n$ העמודות של המטריצה, ואז זוהי הפונקציה היחידה שהיא לינארית בכל המשתנים, מתחלפת (כלומר מחזירה 0 עבור מטריצה שיש בה שתי שורות זהות), ומנורמלת כך ש־$\det(I)=1$ כאשר $I$ היא מטריצת היחידה. בלשון מודרנית, הגדרה זו שקולה לכך שפעולתה של העתקה לינארית מממד $n$ על מכפלת היתד $V^{\land n}$ של המרחב $V$ (שהיא מרחב חד־ממדי) היא כפל בסקלר השווה לדטרמיננטה.

דוגמאות

מטריצות 2×2

${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc$

המטריצה הפיכה אם ורק אם $ad-bc\neq 0$. דוגמאות:

${\begin{aligned}{\begin{vmatrix}1&2\\1&3\end{vmatrix}}=1\cdot 3-2\cdot 1=1\\{\begin{vmatrix}1&2\\2&4\end{vmatrix}}=1\cdot 4-2\cdot 2=0\end{aligned}}$

חישוב הדטרמיננטה

דירוג המטריצה

הפיתוח לפי ההגדרה המפורשת דורש כ־$n\cdot n!$ פעולות בשדה. לעומת שיטות אלה, שיטת הדירוג של גאוס מאפשרת לחשב את הדטרמיננטה בכ־$n^{3}$ פעולות, על ידי דירוג המטריצה עד שמגיעים למטריצה משולשית: הדטרמיננטה של מטריצה משולשית שווה למכפלת אברי האלכסון הראשי שלה.

הדירוג נעשה על ידי הפעלת פעולות אלמנטריות בשרשרת, ואלו משפיעות על הדטרמיננטה באופן הבא:

• החלפת מקומן של שתי שורות (או עמודות) במטריצה משנה את סימן הדטרמיננטה: אם $A'$ התקבלה מהמטריצה $A$ על ידי החלפת שתי שורות, אז $\det(A')=-\det(A)$.
• הוספה של כפולה בסקלר של שורה (עמודה) אחת לשורה (עמודה) אחרת אינה משנה את ערך הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת.
• הכפלה של שורה (או עמודה) במטריצה בסקלר מכפילה את ערך הדטרמיננטה של המטריצה באותו סקלר: אם $A'$ התקבלה מהמטריצה $A$ על ידי הכפלת שורה כלשהיא בסקלר $\lambda$, אז $\det(A')=\lambda \det(A)$.

פיתוח לפי מינורים

את הדטרמיננטה אפשר לחשב בצורה רקורסיבית, הנקראת פיתוח לפי מינורים. הדטרמיננטה של מטריצה בגודל $1\times 1$ הוא האבר היחיד שלה. כעת נראה כיצד ניתן לחשב דטרמיננטה מסדר $n\times n$ כאשר $n\geq 2$. המינור של אבר במטריצה $A$ הוא הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת על ידי מחיקת השורה והעמודה של אותו אבר מהמטריצה, כך שמתקבלת מטריצה בגודל $(n-1)\times (n-1)$ ואותה אנו כבר יודעים לחשב. נסמן את המינור המתקבל ממחיקת הרכיב $A_{ij}$ (שהוא הרכיב ה־(i,j) של המטריצה) ב־$A^{ij}$.

$\det(A)=\sum _{j\,=\,1}^{n}(-1)^{i+j}A_{ij}A^{ij}$ (פיתוח לפי השורה ה־i).

$\det(A)=\sum _{i\,=\,1}^{n}(-1)^{i+j}A_{ij}A^{ij}$ (פיתוח לפי העמודה ה־j).

למשל, הפיתוח לפי השורה הראשונה של מטריצה מסדר $3\times 3$ נותן את הנוסחה

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{12}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}$

הסיבוכיות בשיטה זו דומה לחישוב הדטרמיננטה על־פי ההגדרה, ולכן אין לה ערך מעשי, אלא אם יש במטריצה שורה או עמודה שכמעט כולה אפסים. עם זאת יש בה תועלת תאורטית לא מבוטלת. למשל, נובע ממנה בקלות (באינדוקציה) כי דטרמיננטת המטריצה המשוחלפת שווה לזו של המטריצה המקורית.

נוסחאות חשובות

• $\det(tA)=t^{n}\det(A)$, כאשר $t$ סקלר בשדה ממנו לקוחים אברי $A$ ו־$n$ סדר המטריצה של $A$.
• $\det(AB)=\det(A)\det(B)$.
• $\det {\bigl (}{\text{adj}}(A){\bigr )}=\det(A)^{n-1}$ כאשר ${\text{adj}}(A)$ המטריצה המצורפת של $A$.
• $\det(A^{t})=\det(A)$, כאשר $A^{t}$ המטריצה המשוחלפת של $A$.
• $\det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}$ אם $A$ מטריצה הפיכה.
• $\det(A)=0$ אם $A$ מטריצה בלתי־הפיכה.

הפירוש הגאומטרי של הדטרמיננטה

ניתן לראות בדטרמיננטה פונקציה של אברי המטריצה שערכה מבטא את פקטור ההגדלה הנפחית של ההעתקה הלינארית המיוצגת על ידי המטריצה.

שטח המקבילית באיור הוא הדטרמיננטה של המטריצה המיוצגת על ידי וקטורי צלעות המקבילית. העתקות גזירה אינן משנות את גובה המקבילית ולכן גם לא משנות את שטחה; לעומת זאת, כפל שורה בסקלר מגדיל את אחת מצלעות המקבילית ולכן משנה את שטחה.

בצורה פורמלית, אם $A$ מטריצה ממשית מסדר $n\times n$, אז כפל המטריצה בוקטורי הבסיס הסטנדרטי של המרחב $\mathbb {R} ^{n}$ יתן את וקטורי העמודה של המטריצה:

$A{\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}=\mathbf {a} _{1},\quad A{\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{bmatrix}}=\mathbf {a} _{2},\ldots ,\quad A{\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{bmatrix}}=\mathbf {a} _{n}$

פירוש הדבר הוא שההעתקה המיוצגת על ידי $A$ מעתיקה את קוביית היחידה ה־n־ממדית למקבילון ה־$n$־ממדי שקואורדינטות קדקודיו מיוצגות על ידי וקטורי העמודה של המטריצה $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}$, ואשר הפנים שלו מוגדר על ידי התחום $P={\bigl \{}c_{1}\mathbf {a} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {a} _{n}:0\leq c_{i}\leq 1\ \forall i{\bigr \}}$. הדטרמיננטה תתן את הנפח המכוון של המקבילון הזה, כלומר $\det(A)=\pm {\text{vol}}(P)$ (הסימן מראה האם ההעתקה הלינארית משמרת או הופכת את אוריינטציית המקבילון).

ניתן להיווכח בכך שהדטרמיננטה מקיימת את כל התכונות הנדרשות מפונקציית נפח – שכן פעולות אלמנטריות משנות את הדטרמיננטה באופן זהה לשינוי שהן גורמות לנפח המקבילון. הפעולה האלמנטרית של כפל שורה בסקלר $\lambda$ שקולה להארכת אחת מצלעות המקבילון פי אותו גורם; הפעולה מגדילה את שטח הפאה המכילה את הצלע באותו גורם, ובאופן רקורסיבי פועלת כמתיחה בגורם $\lambda$ על פנים המקבילון, באנלוגיה להליך חישוב הדטרמיננטה לפי מינורים. הוספת כפולה של שורה לשורה אחרת ניתנת לייצוג על ידי כפל במטריצה אלמנטרית השקולה להעתקת גזירה, ולכן פועלת כהעתקה המשנה את זוויות המקבילון אך אינה משפיעה על נפחו (ככל גזירה).

בדרך זו ניתן גם להבין את מושג ההפיכות של מטריצה בצורה שונה; מטריצה מסדר $n\times n$ בעלת דטרמיננטה אפס מעתיקה את קוביית היחידה ה־$n$־ממדית למקבילון בעל נפח 0 שאינו יכול להיות $n$־ממדי, מה שמעיד על כך שממד התמונה של $A$ נמוך מ־$n$. פירוש הדבר הוא ש־$A$ מייצגת העתקה לינארית שאינה על ואינה חד־חד־ערכית, ולכן אין לה מטריצה הופכית (אין העתקה הופכית להעתקה שהיא מייצגת).

הדטרמיננטה באנליזה וקטורית

בשל הפירוש הגאומטרי של הדטרמיננטה שצויין לעיל, אם $S$ קבוצה כלשהי במרחב הממשי $\mathbb {R} ^{n}$, אז הנפח של $A\cdot S$ שווה לנפח של $S$ מוכפל בדטרמיננטה של $A$ (עובדה המסבירה את הופעתו של היעקוביאן בחישובי אינטגרלים מרובים).

• באמצעות דטרמיננטה של מטריצה 3 על 3 אפשר לרשום ביטוי שקל לזכור ומקל לחשב את המכפלה הווקטורית ב־$\mathbb {R} ^{3}$ באופן הבא:

  ${\vec {A}}\times {\vec {B}}={\begin{vmatrix}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\\B_{x}&B_{y}&B_{z}\\\end{vmatrix}}=(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y}){\hat {x}}-(A_{x}B_{z}-A_{z}B_{x}){\hat {y}}+(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}){\hat {z}}$

ראו גם

• מכפלה מעורבת
• מכפלה וקטורית
• פרמננטה
• נוסחת קושי-בינה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא דטרמיננטה בוויקישיתוף

• היסטוריה של מטריצות ודטרמיננטות
• גדי אלכסנדרוביץ', דטרמיננטות, באתר "לא מדויק"
• סרטונים המדגימים חישוב דטרמיננטה: פיתוח דטרמיננטה לפי שורה ראשונה ופיתוח דטרמיננטה לפי חוק סארוס
• דטרמיננטה, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• דטרמיננטה, באתר MathWorld (באנגלית)