מכפלה מעורבת

מכפלה מעורבת (או מכפלה משולשת) היא פעולה הפועלת על שלושה וקטורים מהמרחב האוקלידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R}^3} ומחזירה סקלר. המכפלה המעורבת מהווה דטרמיננטה למטריצה במרחב האוקלידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R}^3} . בערך זה נדון בעיקר במכפלה המעורבת במרחב האוקלידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R}^3} וביישומיה בגאומטריה באנליזה וקטורית ובאלגברה ליניארית.

הגדרה

יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{a}=\left[\begin{array}{c} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1} \end{array} \right],\ \vec{b}=\left[\begin{array}{c} x_{2}\\ y_{2}\\ z_{2} \end{array} \right],\ \vec{c}=\left[\begin{array}{c} x_{3}\\ y_{3}\\ z_{3} \end{array} \right]\in \mathbb{R}^3}

המכפלה המעורבת היא המכפלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{a}\cdot\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)}
כלומר, מכפלה סקלרית של הוקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{a}} במכפלה הווקטורית של הוקטורים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{b},\vec{c}} .

משמעות

תוצאת המכפלה המעורבת היא מספר אשר משמעותו הוא נפח המקבילון הבנוי על וקטורים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{a},\vec{b},\vec{c}} . נפח כאן הוא במשמעות שונה מעט מהמשמעות המקובלת שלו, כיוון שהערך של המכפלה המעורבת יכול להיות שלילי, בעוד שנפח נתפס לרוב כגודל חיובי בלבד. ניסוח מדויק יותר הוא שהגודל של המכפלה המעורבת שווה לנפח המקבילון הנוצר על ידי שלושת הווקטורים. סימן המכפלה (חיובי או שלילי) נקבע לפי סדר הווקטורים, כלומר, אם השלשה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{a},\vec{b},\vec{c}} היא שלשה ימנית או שלשה שמאלית. אם הווקטורים קו-פלנריים (כלומר שלושתם נמצאים על אותו מישור), אז המכפלה המעורבת מתאפסת, כיוון שבמקרה זה ה"מקבילון" המוגדר על ידם הוא שטוח ונפחו 0.

ניתן גם להסתכל על המכפלה המעורבת (ב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^3} ) בתור הדטרמיננטה של המטריצה המורכבת מהוקטורים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{a},\vec{b},\vec{c}} . לכן, מתכונות הדטרמיננטה ברור כי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{a} \cdot \left( \vec{b} \times \vec{c} \right)= \vec{c} \cdot \left( \vec{a} \times \vec{b} \right)= \vec{b} \cdot \left( \vec{c} \times \vec{a} \right) }

אך חילוף הסדר יהפוך את הסימן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{a}\cdot\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)= -\vec{a}\cdot\left(\vec{c}\times\vec{b}\right)}

כמו כן מתקיים לכל זוג ווקטורים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{a}\cdot\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)=0 }

מכפלה וקטורית משולשת (מעורבת)

ישנו סוג נוסף של מכפלה מעורבת המחזיר וקטור ולא סקלר; זוהי המכפלה הווקטורית המשולשת: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{a}\times (\vec{b}\times\vec{c}) } . תוצאת המכפלה הווקטורית המשולשת היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{a}\times (\vec{b}\times\vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c} }

זהות שניתן לזכור גם בעזרת המנמוניקה "BAC − CAB". דרך אחת להוכיח זהות זאת היא באמצעות האפסילון של לוי-צ'יוויטה; כאן נוכיח זאת באמצעות שיטת הוכחה המתבססת על תהליך גרם-שמידט היות שהיא אינטואיטיבית יותר ומתבססת רק על הרעיון הגאומטרי של מכפלה פנימית.

הוכחה

נרשום כל אחד מהווקטורים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{b},\vec{c} } כסכום של רכיב מקביל ורכיב ניצב לוקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{a} } :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{b} = \vec{b\|a} + \vec{b\perp a} }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{c} = \vec{c\|a} + \vec{c\perp a} }

ונקבל על סמך קיום חוק הפילוג במכפלות וקטוריות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{a}\times (\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{a}\times ((\vec{b\|a} + \vec{b\perp a})\times(\vec{c\|a} + \vec{c\perp a})) = \vec{a}\times (\vec{b\|a}\times\vec{c\|a} +\vec{b\|a}\times\vec{c\perp a}+\vec{b\perp a}\times\vec{c\|a}+ \vec{b\perp a}\times \vec{c\perp a}) }

נבחין כעת כי המכפלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{b\|a}\times\vec{c\|a}} שווה לאפס היות שהיא מייצגת מכפלה וקטורית של שני וקטורים בכיוון זהה (כיוון a). בדומה לכך, גם המכפלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{a}\times(\vec{b\perp a}\times \vec{c\perp a}) } שווה לאפס היות ששני הווקטורים בתוך הסוגריים נמצאים במישור הניצב ל-a - ולפיכך מכפלתם הווקטורית היא בכיוון a כך שהמכפלה המשולשת כולה מתאפסת אף היא. נשארנו לפיכך עם הביטוי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{a}\times (\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{a}\times (\vec{b\|a}\times\vec{c\perp a}+\vec{b\perp a}\times\vec{c\|a}) = \vec{a}\times (\vec{b\|a}\times\vec{c\perp a})-\vec{a}\times(\vec{c\|a}\times \vec{b\perp a}) }

כאשר המעבר האחרון נסמך על תכונת האנטי-חילופיות של המכפלה הווקטורית. כיוון שעבור שני וקטורים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{x},\vec{y} } בבסיס אורתונורמלי של מרחב תלת-ממדי מתקיים באופן כללי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{x}\times(\vec{x}\times\vec{y}) = -\vec{y} } , נקבל שהביטוי באגף ימין של השוויון האחרון שקול ל-:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{a}\times (\vec{b}\times\vec{c}) = (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c} }

כאשר במעבר האחרון (והמסכם) השמטנו חלק מהכתיב הפורמלי.

מ.ש.ל

ראו גם

• מרחב וקטורי
• מכפלה פנימית
• מכפלה וקטורית
• מכפלה סקלרית
• דטרמיננטה

קישורים חיצוניים

• מכפלה מעורבת, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מכפלה מעורבת28578444Q36248