אוריינטציה (אלגברה ליניארית)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Gnome-colors-edit-find-replace.svg יש לשכתב ערך זה. הסיבה לכך היא: תרגמת חריפה.
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.
ניתן לראות בתמונה את האוריינטציה השמאלית (בצד שמאל) ואת הימנית (בצד ימין)

אוריינטציה (במתמטיקה) היא הרעיון שמאפשר להתייחס לצורה הנמצאת במרחב דו־ממדי, כמסתובבת עם כיוון השעון או נגדו, ולצורה הנמצאת במרחב תלת-ממדי כ"ימנית" או "שמאלית". באלגברה לינארית, הרעיון של אוריינטציה, בממדים שרירותיים, מקבל משמעות שונה. במצב כזה, האוריינטציה של בסיס סדור היא סוג של אסימטריה הגורמת לכך שלא ניתן יהיה לשכפל את בבואתו של הבסיס, על ידי סיבוב פשוט. דוגמה לכך ניתן למצוא, בשלושה ממדים, בבבואתו של אדם: לא ניתן להפוך את ידו השמאלית של אדם לידו הימנית על ידי סיבוב פשוט, אבל ניתן לעשות זאת על ידי שיקוף בבואתו במראה. כתוצאה מכך, במרחב האוקלידי התלת־ממדי, שתי אוריינטציות הבסיס האפשריות נקראות: ה"ימנית" וה"שמאלית" (או הכיראל הימני והכיראל השמאלי).

האוריינטציה על מרחב וקטורי ממשי, היא הבחירה השרירותית של איזה בסיסים סדורים מסתובבים לכיוון חיובי, ואיזה לכיוון שלילי. במרחב תלת ממדי אוקלידי, מתייחסים בדרך כלל לבסיסים ימניים כמסתובבים לכיוון חיובי (עם זאת, הבחירה היא שרירותית, וניתן גם לייחס להם אוריינטציה שלילית). מרחב וקטורי עם אוריינטציה, נקרא "מרחב וקטורי סיבובי", בעוד מרחב ללא אפשרות של אוריינטציה נקרא "א-סיבובי".

הגדרה

נסמן ב־V את הממד הסופי במרחב הווקטורי הממשי, ונסמן ב b1 ובb2, כשני בסיסים סדורים של V. תוצאה ידועה באלגברה לינארית היא שקיים העתק לינארי A: VV שהופך את b1 ל־b2. יוצא מכך, שלבסיסים b1 וb2 יש אותה אוריינטציה אם ל־A יש דטרמיננטה חיובית, ואוריינטציה הפוכה אם אין לו. התכונה, שיש להם את אותה אוריינטציה, מגדירה יחס שקילות על המערכת של כל הבסיסים הסדורים של V. אם V שונה מאפס, קיימים בדיוק שני חוגי שקילות שמוגדרים על ידי היחסים הנ"ל. אוריינטציה על V היא העברה של 1+ לחוג שקילות אחד ו−1 לשני.[1]

כל בסיס סדור נמצא בחוג שקילות כזה או אחר. בהתאם לכך, כל בחירה של בסיס סדור מועדף עבור V קובעת אוריינטציה: חוג האוריינטציה של הבסיס המועדף מוכרז כחיובי. למשל, הבסיס הסטנדרטי על Rn מספק אוריינטציה סטנדרטית על Rn (במקרים אחרים, האוריינטציה של הבסיס הסטנדרטי תלויה באוריינטציה של מערכת הצירים הקרטזית שעליה הוא בנוי). כל בחירה של איזומורפיזם לינארי בין V ל־Rn, במקרה כזה, תספק אוריינטציה על V.

סדר האלמנטים על הבסיס הוא מכריע. שני בסיסים עם סידור שונה יהיו שונים זה מזה בכמה תמורות. מה שיקבע אם האוריינטציות שלהם יהיו זהות או הפוכות, הוא חתימת התמורה שלהם (אם היא 1+ או −1). זאת בגלל שהדטרמיננטה של מטריצת התמורה שווה לחתימה של התמורה הנלווית.

באופן דומה, נסמן את A כמיפוי לינארי א-סינגולרי של המרחב הווקטורי Rn עד Rn. מיפוי זה הוא "שימור אוריינטציה" אם הדטרמיננטה שלו היא חיובית.[2] למשל, בR³, סיבוב מסביב לציר הZ הקרטזי בזווית של α, הוא "שימור אוריינטציה".

בעוד ששיקוף במישור הקרטזי XY הוא לא "שימור אוריינטציה".

הערות שוליים

  1. Rowland, Todd. "Vector Space Orientation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/VectorSpaceOrientation.html
  2. Weisstein, Eric W. "Orientation-Preserving." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Orientation-Preserving.html