משפט הערך הממוצע של קושי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
המחשה גאומטרית של משפט הערך הממוצע של קושי: קיים משיק למסילה המקביל לישר המחבר את עם

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט הערך הממוצע של קושי הוא הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' עבור זוג פונקציות. למשפט מספר שימושים מועילים, דוגמת הוכחת כלל לופיטל.

ניסוח פורמלי

תהיינה פונקציות רציפות בקטע וגזירות בקטע ומתקיים (ולכן לפי משפט רול ).

אזי קיימת נקודה עבורה .

משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא המקרה .

הוכחה

ראשית נשים לב כי אם אזי על-פי משפט רול קיימת נקודה עבורה , וזאת בסתירה להנחה. לכן בהכרח .

תהי משוואת הישר העובר בנקודות .

זוהי פונקציה רציפה וגזירה בכל הקטע ונגזרתה קבועה .

נגדיר פונקציה נוספת . זוהי פונקציה רציפה בקטע כהפרש פונקציות רציפות, גזירה בקטע כהפרש פונקציות גזירות, ומקיימת .

מקיימת את שלושת תנאי משפט רול, לפיכך קיימת נקודה עבורה .

דוגמה ומסקנה במקרה הפרטי של שתי פונקציות לינאריות

כדי להמחיש את קיום המשפט, נדגים מקרה פרטי פשוט:

שתי פונקציות לינאריות בקטע . נסמן ונדרוש בהתאם לדרישות המשפט: .

מאחר שבחרנו בעלות נגזרת קבועה בקטע, אזי על-פי המשפט מתקיים:

ממשוואת הקו הישר נובע:

ובאותו אופן:

ומכאן קל לראות כי: מתקיים.

מהדוגמה ניתן לראות שמשפט הערך הממוצע של קושי, במקרה הפרטי של שתי פונקציות לינאריות בקטע מסוים, אומר שיחס שיפועי הפונקציות זהה ליחס גדילת הפונקציות לאורך הקטע.