מטריצה אוניטרית

באלגברה לינארית, מטריצה אוניטרית היא מטריצה ריבועית מעל המספרים המרוכבים המקיימת את התנאי

$A^{*}A=A{A}^{*}=I$ כלומר $\overline{A^T}A=A\overline{A^T}=I_n$

כאשר I היא מטריצת היחידה, ו- $A^{*}=A^{†}=\overline{A^T}$ הצמוד ההרמיטי של מטריצה A.

מטריצה אוניטרית היא מקרה פרטי של מטריצה נורמלית.

מטריצה אוניטרית שכל מרכיביה הם מספרים ממשיים היא מטריצה אורתוגונלית.

תכונות של מטריצות אוניטריות

• $A$ מטריצה הפיכה ו-$A^{-1}=\overline{A^T}$
• מטריצה אוניטרית שומרת מכפלה פנימית: $⟨Ax,Ay⟩=⟨x,A^{*}Ay⟩=⟨x,Iy⟩=⟨x,y⟩$ (כאן נעזרנו בתכונות הצמוד ההרמיטי במכפלה פנימית)
• מטריצה אוניטרית שומרת על נורמה, $\Vert Ax\Vert =\Vert x\Vert$. כתוצאה מכך, ערך מוחלט של כל ערך עצמי שלה הוא 1.
• אם A אוניטרית $A^{*}$ ו-$\bar{A}$ גם הן אוניטריות
• מטריצה nxn מעל שדה $\mathbb{𝔽}$ היא אוניטרית אם ורק אם שורותיה הן בסיס אורתונורמלי של ${\mathbb{𝔽}}^n$ ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית בו.
• מטריצה nxn מעל שדה $\mathbb{𝔽}$ היא אוניטרית אם ורק אם עמודותיה הן בסיס אורתונורמלי של ${\mathbb{𝔽}}^n$ ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית בו.
• הערך המוחלט של כל הערכים העצמיים של מטריצה אוניטרית הוא 1.
• כל ערכיה העצמיים של מטריצה אוניטרית נמצאים על מעגל היחידה של המישור המרוכב.

חבורת המטריצות האוניטריות

שגיאות פרמטריות בתבנית:להשלים
'נושא: אלגברה' אינו ערך חוקי

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

קבוצת המטריצות האוניטריות מסדר n מהווה חבורה כאשר הפעולה הבינארית של החבורה הינה כפל מטריצות ומסומנת $\mathrm{U}(n)$. תת-חבורת המטריצות האוניטריות עם דטרמיננטה השווה ל-1 נקראת "חבורת המטריצות האוניטריות המיוחדות" ומסומנת $\mathrm{S}\mathrm{U}(n)$.

ראו גם

• אופרטור אוניטרי