מטריצה צמודה

באלגברה לינארית, מטריצה צמודה למטריצה מרוכבת A היא המטריצה המתקבלת משחלוף השורות והעמודות והצמדה של רכיבי המטריצה. דהיינו, בשורה ה-i ובעמודה ה-j של המטריצה הצמודה מופיע הצמוד המרוכב של הערך מן השורה ה-j והעמודה ה-i של המטריצה המקורית. בפרט, עבור מטריצות ממשיות, המטריצה הצמודה אינה אלא המטריצה המשוחלפת. כלומר, עבור מטריצה $\mathbf{𝐀}$ המטריצה הצמודה ${\mathbf{𝐀}}^{*}$ מקיימת:

$({\mathbf{𝐀}}^{*}{)}_{ij}=\overline{{\mathbf{𝐀}}_{ji}}$

ההצמדה היא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג שני. מטריצה ריבועית שפעולת השחלוף אינה משנה אותה נקראת מטריצה הרמיטית.

תכונות

• $(T^{*}{)}^{*}=T$
• אדיטיביות - $(T+S{)}^{*}=T^{*}+S^{*}$ ׁ
• $(\alpha T{)}^{*}=\overline{\alpha }{T}^{*}$
• $(T^{*}{)}^{-1}=(T^{-1}{)}^{*}$ (ובפרט, כל אגף מוגדר אם ורק אם השני מוגדר)
• $(TS{)}^{*}=S^{*}{T}^{*}$

דוגמאות

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$

• ${\left[\begin{array}{cc}1+i& 2\\ 3i& 4i\end{array}\right]}^{\mathrm{*}}=\left[\begin{array}{cc}1-i& -3i\\ 2& -4i\end{array}\right]$

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

ראו גם

• אופרטור צמוד - העתקה לינארית אנלוגית