כלל הסנדוויץ'

כלל הסנדוויץ' הוא משפט שימושי לחישוב גבולות בחשבון אינפיניטסימלי. לפי הכלל, אם ניתן לחסום סדרה (או פונקציה) שגבולה אינו ידוע, בין שתי סדרות (או פונקציות) אחרות שגבולותיהן ידועים ושווים זה לזה, אז לסדרה (או לפונקציה) החסומה יש גבול, והוא שווה לגבול הסדרות (או הפונקציות) החוסמות.

בניסוח מתמטי: אם $a_n,b_n,c_n$ סדרות המקיימות:

$a_n\le c_n\le b_n,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=L$

אז גם לסדרה $c_n$ קיים גבול, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n=L$ .

הכלל משמש גם בגבולות של פונקציות. אם $f(x),g(x),h(x)$ פונקציות המקיימות:

$f(x)\le h(x)\le g(x),\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }g(x)=L$

אז גם לפונקציה $h$ קיים גבול בנקודה $a$ , $\underset{x\to a}{\lim }h(x)=L$ .

כלל דומה (המכונה לעיתים "כלל הפיצה") תקף למקרה האינסופי. אם ניתן לחסום מלמטה סדרה (או פונקציה) על ידי סדרה (או פונקציה) השואפת לאינסוף, אז גם הסדרה המקורית שואפת לאינסוף.

ברעיון שמאחורי המשפט השתמש כבר ארכימדס במאה ה-3 לפנה"ס לחישוב היקף מעגל: הוא חסם אותו מבפנים ומבחוץ במצולעים משוכללים עם אותו מספר צלעות וחישב את היקפם, ועל ידי הגדלת מספר הצלעות הלך והתקרב לערך המדויק. שיטה זו קרויה שיטת המיצוי. המשפט נוסח בצורה מדויקת על ידי קרל פרידריך גאוס.

הוכחה

נוכיח קודם כל את הכלל עבור סדרות, באמצעות ההגדרות הבסיסיות של גבולות.

יהי $\epsilon >0$ . נרצה למצוא מספר טבעי $N$ כך שלכל $n>N$ יתקיים $|c_n-L|<\epsilon$ .

קיים $N_1$ כך שלכל $n>N_1$ מתקיים $L-\epsilon <a_n<L+\epsilon$ .

קיים $N_2$ כך שלכל $n>N_2$ מתקיים $L-\epsilon <b_n<L+\epsilon$ .

נסמן $N=\max \{N_1,N_2\}$ . מהנתון מתקיים $a_n\le c_n\le b_n$ , לכן

לכל $n>N$ מתקיים $L-\epsilon <a_n\le c_n\le b_n<L+\epsilon$

לכן $L-\epsilon <c_n<L+\epsilon$ .

כלומר $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n=L$ .

ניתן להוכיח את הכלל עבור פונקציות בדיוק באותו אופן, או תוך שימוש בהגדרת הגבול של הפונקציות על ידי סדרות (הגדרת הגבול של היינה).

דוגמאות

סדרות

נשתמש בכלל הסנדוויץ' כדי לחשב את גבול הסדרה $c_n=\sqrt[n]{5^n+7^n}$ . נשים לב לאי־השוויונות הבאים:

$7=\sqrt[n]{7^n}\le \sqrt[n]{5^n+7^n}\le \sqrt[n]{7^n+7^n}=7\sqrt[n]{2}$

כלומר הסדרות החוסמות הן $a_n=7,b_n=7\sqrt[n]{2}$ .

שתי הסדרות האלו מתכנסות ל־7 ולכן גם גבול הסדרה $a_n$ הוא 7.

קל להכליל את התוצאה ולהראות באותו אופן שעבור כל אוסף (סופי) של מספרים אי־שליליים $d_1,\dots ,d_k$ מתקיים:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{d_1^n+\cdots +d_k^n}=\max \{d_1,\dots ,d_k\}$

פונקציות

נשתמש בכלל הסנדוויץ' כדי לחשב את הגבול $\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ .

כיוון שלכל $y$ מתקיים $-1\le \sin (y)\le 1$ הפונקציה $x\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ חסומה בין הפונקציות $-|x|,|x|$ (פונקציות ערך מוחלט). שתי הפונקציות האלו שואפות לאפס כאשר $x$ שואף לאפס ולכן גם הגבול המבוקש הוא אפס; $\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \left(\frac{1}{x}\right)=0$.