פונקציה ליניארית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף פונקציה לינארית)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
שלוש פונקציות ליניאריות גאומטריות. לאדומה ולכחולה יש שיפוע זהה (m), בעוד לאדומה ולירוקה יש נקודת חיתוך ציר y זהה (n)

פונקציה ליניארית או פונקציה קווית היא מושג שמשמש במתמטיקה לתיאור שני מושגים שונים במקצת.

בגאומטריה אנליטית, פונקציה ליניארית היא פונקציה פולינומית ממעלה ראשונה בצורת: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, f(x)=mx+n} כאשר m ו- n הם קבועים. יש המגדירים את הפונקציות הנ"ל כפונקציות אפיניות.

באלגברה ליניארית מגדירים פונקציה ליניארית בין מרחבים וקטוריים כפונקציה שמקיימת את שני התנאים הבאים:

  • אדיטיביות: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, f(x+y)=f(x)+f(y)}
  • הומוגניות מסדר 1:

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} וקטורים במרחב ו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\ \alpha } קבוע בשדה שמעליו מוגדרים המרחבים הווקטוריים.

תחת הגדרה זו, קל להראות שפונקציה אפינית על המספרים הממשיים היא ליניארית אם ורק אם .

גרף הפונקציה

פונקציה ליניארית. כפי שרואים השיפוע קבוע

פונקציות ליניאריות (לפי ההגדרה הגאומטרית) נכתבות גם בצורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, y=mx+n} וממוקמות על מערכת צירים קרטזית. על הגרף הפונקציה מהווה קו ישר, ומכאן שמה.

הקבוע m מאפיין את שיפוע הפונקציה שהוא יחס השינוי בין הצירים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, \left(m=\frac{dy}{dx}\right)} . יחס זה קבוע לכל אורך הפונקציה. לדוגמה, פונקציה בעלת שיפוע 2 תעלה שתי נקודות בציר האנכי על כל נקודה בציר האופקי, בפונקציה שבה השיפוע הוא 0.5 היחס הפוך, על כל תזוזה של שתי נקודות בציר האופקי הפונקציה תעלה נקודה אחת. שיפוע יכול להיות גם שלילי. פונקציות בעלות שיפוע שווה הן מקבילות.

בחשבון האינפיניטסימלי יש שימוש בפונקציה הקווית על מנת לתאר התנהגות פונקציות ממעלה שנייה בכל נקודה על הגרף. באמצעות גזירת הפונקציה הפרבולית מתקבל שיפוע הפונקציה הקווית המשיקה לפונקציה המקורית לכל x נתון.

הקבוע n מאפיין את נקודת חיתוך הציר האנכי של הפונקציה. לפונקציה יש נקודת חיתוך אחת בלבד עם הציר האנכי. על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם הציר האנכי יש להציב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, x=0} וכדי למצוא את נקודת חיתוך עם הציר האופקי יש להציב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, y=0} .

כל פונקציה היא ייחודית על פי שני מאפיינים אלו, ובמקרה של שינוי אחד מהקבועים מתקבלת פונקציה ליניארית אחרת. בפונקציה זו לכל תמונה יש מקור אחד, קרי, לכל y יש x אחד בשונה מפונקציות ממעלות גבוהות.

דוגמאות

  • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\,y=2x-1} - השיפוע הוא 2 ונקודת החיתוך עם הציר האנכי (Y) היא (1-).
  • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\,y=-x+5} - השיפוע הוא (1-)ונקודת החיתוך עם הציר האנכי (Y) היא 5.
  • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\,f(x)=3x} - השיפוע הוא 3 ונקודת החיתוך היא ראשית הצירים (0,0).
  • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\,f(x)=4} - השיפוע הוא אפס. זהו קו אופקי שחוצה את הציר האנכי ב-4.

המשוואה מסוג הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\,x=n} אינה פונקציה משום שלמקור אחד יש אינסוף תמונות.

דוגמאות לשימושים מעשיים

כפי שהוסבר הפונקציה הליניארית מתארת יחס קבוע בין שני משתנים, במילים אחרות, כל משתנה התלוי במכפלת משתנה אחר בקבוע. לדוגמה, אם נתון שכיכר לחם עולה שני שקלים, הסכום שישולם תלוי ביחס ישיר לכמות הכיכרות. במקרה זה התמונה (y) היא הסכום שישולם, המקור (x) הוא מספר הכיכרות והיחס הקבוע (m) הוא מחיר הלחם, שני שקלים. הגרף שיתאר את הסכום הכללי כפונקציית הכיכרות יהיה ליניארי. פונקציה מהסוג הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y = m x} נקראת יחס ישר.

דוגמאות מעשיות נוספות:

  • במכניקה קלאסית- הדרך (x) כפונקציית הזמן (t) או המהירות (v) (במהירות קבועה):
  • בתנועה מעגלית- המהירות זוויתית (ω) כפונקציית (f) התדירות: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, \omega =2\pi f}
  • בחוק אוהם- המתח (V) כפונקציית הזרם (I) או (R) ההתנגדות החשמלית: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, V=RI}

ראו גם



קישורים חיצוניים

ויקישיתוף ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.

סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0